Función esencialmente confina $\mathbb{R}$

Question

Realmente no sé mucho acerca de la medida (por terminar mi licenciatura) así que no estoy en buenos términos con esto. Por lo tanto, vamos a $L^{\infty}[a,b]$ denotar el espacio de todos esencialmente limitado de las funciones de $[a,b]$ con la norma $\left| \left| f \right| \right|_{\infty} = \text{ess}\, \sup_{x\in[a,b]} |f(x)|$. ¿Qué sería exactamente la diferencia entre una curva y una esencialmente limitado de la función (además, la diferencia entre el supremum y esencial supremum)? Si no estoy realmente tratar con las medidas, pero sólo con variable real funciones de $f:[a,b]\to\mathbb{R}$, puedo omitir la "esencia" de la parte y solo decir que $L^{\infty}[a,b]$ denota el espacio de la delimitadas las funciones, y, además, omita la $\text{ess}$ en la definición de la norma? Entiendo que esto parece una pregunta tonta, pero he probado Googleing esto y no encontré nada útil.

Answer 1

Esencialmente delimitada la función $f\in L^{\infty}([a,b])$ está explícitamente relacionado con la idea de medir, así que no creo que haya una manera de entender esto sin medidas. La definición se puede afirmar que $f\in L^{\infty}([a,b])$ si hay un $g$ medibles en $[a,b], f=g$, excepto en un conjunto de medida cero, y $g$ está acotada.

Dos ejemplos: $$f_1(x)=\begin{cases} x & \text{ if } x\in\mathbb{Q}\\ 0 & \text{ otherwise}\end{cases}$$ Then $f_1=0$ except on a set of measure $0$, namely $\mathbb{Q}$, so $f_1$ is essentially bounded on $\mathbb{R}$, although $f_1$ is clearly not bounded on $\mathbb{R}$.

Siguiente,

$$f_2(x)=\begin{cases} 1 & \text{ if } x\in \mathbb{Q}\\ 0 & \text{ otherwise}\end{cases}$$ Then $f_2=0$ except on a set of measure zero, so $f_2$ is also essentially bounded. Moreover, $f_2$ is also bounded, $|f_2|\leq 1$ and $\sup |f_2|=||f_2||=1$. However, note that $||f_2||_{\infty}\no=||f_2||$. Así que incluso si una función es esencialmente limitado y acotado, en su esencial obligado no es necesariamente igual a la de la envolvente: se puede ser mayor o menor que el obligado. Por lo tanto, lo esencial unido y el supremum enlazado son fundamentalmente diferentes.

Answer 2

Este es sólo un subproducto de el hecho de que se trata de clases de equivalencia de funciones en $L^\infty$, no de funciones individuales. En teoría de la medida, se asume que todas las funciones que están a la misma, aparte de un conjunto de medida cero son iguales, ya que su integrales son iguales y se comportan de la misma manera que para nada te importa en la teoría de la medida. Así que, en esencia, delimitada la función es una función que es equivalente a un almacén de la función. por ejemplo, una función que las salidas de $f(x)=x$ $x \in \mathbb{Z}$ pero $f(x)=0$ todos los $x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$ es ilimitado, pero claramente es equivalente a la función cero desde la perspectiva de la lebsegue medida.

Answer 3

La función $f: [0,1] \to \mathbb R$

$$f(x) = \begin{cases} n & \text{if }x = \frac 1n \\ 0 &\text{otherwise}\end{cases}$$

es una función esencialmente acotada que no está delimitada. Nota no puede reemplazar la definición para considerar sólo limita las funciones: en efecto, elementos en $L^\infty [a, b]$ es una clase equivalente de funciones, que dos funciones son iguales si son el mismo casi en todas partes.