Realmente no sé mucho acerca de la medida (por terminar mi licenciatura) así que no estoy en buenos términos con esto. Por lo tanto, vamos a L∞[a,b] denotar el espacio de todos esencialmente limitado de las funciones de [a,b] con la norma ||f||∞=esssup. ¿Qué sería exactamente la diferencia entre una curva y una esencialmente limitado de la función (además, la diferencia entre el supremum y esencial supremum)? Si no estoy realmente tratar con las medidas, pero sólo con variable real funciones de f:[a,b]\to\mathbb{R}, puedo omitir la "esencia" de la parte y solo decir que L^{\infty}[a,b] denota el espacio de la delimitadas las funciones, y, además, omita la \text{ess} en la definición de la norma? Entiendo que esto parece una pregunta tonta, pero he probado Googleing esto y no encontré nada útil.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Esencialmente delimitada la función f\in L^{\infty}([a,b]) está explícitamente relacionado con la idea de medir, así que no creo que haya una manera de entender esto sin medidas. La definición se puede afirmar que f\in L^{\infty}([a,b]) si hay un g medibles en [a,b], f=g, excepto en un conjunto de medida cero, y g está acotada.
Dos ejemplos: f_1(x)=\begin{cases} x & \text{ if } x\in\mathbb{Q}\\ 0 & \text{ otherwise}\end{cases}Then f_1=0 except on a set of measure 0, namely \mathbb{Q}, so f_1 is essentially bounded on \mathbb{R}, although f_1 is clearly not bounded on \mathbb{R}.
Siguiente,
f_2(x)=\begin{cases} 1 & \text{ if } x\in \mathbb{Q}\\ 0 & \text{ otherwise}\end{cases} Then f_2=0 except on a set of measure zero, so f_2 is also essentially bounded. Moreover, f_2 is also bounded, |f_2|\leq 1 and \sup |f_2|=||f_2||=1. However, note that ||f_2||_{\infty}\no=||f_2||. Así que incluso si una función es esencialmente limitado y acotado, en su esencial obligado no es necesariamente igual a la de la envolvente: se puede ser mayor o menor que el obligado. Por lo tanto, lo esencial unido y el supremum enlazado son fundamentalmente diferentes.
Este es sólo un subproducto de el hecho de que se trata de clases de equivalencia de funciones en L^\infty, no de funciones individuales. En teoría de la medida, se asume que todas las funciones que están a la misma, aparte de un conjunto de medida cero son iguales, ya que su integrales son iguales y se comportan de la misma manera que para nada te importa en la teoría de la medida. Así que, en esencia, delimitada la función es una función que es equivalente a un almacén de la función. por ejemplo, una función que las salidas de f(x)=x x \in \mathbb{Z} pero f(x)=0 todos los x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z} es ilimitado, pero claramente es equivalente a la función cero desde la perspectiva de la lebsegue medida.
La función f: [0,1] \to \mathbb R
f(x) = \begin{cases} n & \text{if }x = \frac 1n \\ 0 &\text{otherwise}\end{cases}
es una función esencialmente acotada que no está delimitada. Nota no puede reemplazar la definición para considerar sólo limita las funciones: en efecto, elementos en L^\infty [a, b] es una clase equivalente de funciones, que dos funciones son iguales si son el mismo casi en todas partes.