La sustitución de $GL(4, \mathbb R)$ $M(4, \mathbb R)$ hemos
$${\cal V}:= \{M \in M(4, \mathbb R)\:|\: \mbox{if $x\in {\cal T}_+$, then $Mx \in {\cal T}_+$}\}\tag{1}\:,$$
donde
$${\cal T}_+ := \{x \in \mathbb R^4 \:|\: x^T\eta x \geq 0\:, x^0 \geq 0\}$$
de modo que podemos equivalentemente, reformular la definición aportada como
$${\cal V}:=$$ $$\{M \in M(4, \mathbb R)\:|\: \mbox{ $x^T\eta x \geq 0$, $x^0 \geq 0$ $\Rightarrow$ $x^TM^T\eta Mx \geq 0$, $(Mx)^0 \geq 0$}\}\tag{2}\:.$$
La proposición.
Con la definición de $\cal V$, que resulta ser un cerrado convexo de cono de la real espacio vectorial $M(4,\mathbb R)$.
PRUEBA.
El conjunto es trivialmente un cono, ya que, si $M \in \cal V$, $\lambda M \in \cal V$ a la vista de la definición aportada por $\lambda \geq 0$.
Establezcamos que es convexa, demasiado.
Deje $M, M' \in \cal V$$p,q \in [0,1]$$p+q=1$. Si $x\in {\cal T}_+$, luego $Mx$, $M'x \in {\cal T}_+$ por (1). Por otra parte, como ${\cal T}_+$ es convexo, también tiene $pMx+ qM'x \in {\cal T}_+$. Usando (2), este hecho, equivalentemente, puede ser re-escrita como $$(pMx+ qM'x)^T \eta (pMx+ qM'x) \geq 0\:,$$
que es
$$x^T(pM+ qM')^T \eta (pM+ qM')x \geq 0$$
Del mismo modo, debido a que el lado izquierdo es la suma de dos números negativos, $$((pM+qM')x)^0\geq 0\:.$$
Desde la identidad presionado para cada $x\in {\cal T}_+$, buscando en (2), hemos probado que si $M,M' \in \cal V$$p,q \in [0,1]$$p+q=1$, luego
$pM+qM' \in \cal V$. En otras palabras $\cal V$ es convexa.
Finalmente vamos a demostrar que $\cal V$ es cerrado en la forma natural de la topología de $M(4,\mathbb R) \subset \mathbb R^{16}$. Si ${\cal V} \ni M_n \to M \in M(4,\mathbb R)$ con respecto a dicho topología para $n\to +\infty$, e $x^T\eta x \geq 0$, luego $$0\leq x^TM_n^T\eta M_nx \to x^TM^T\eta Mx\geq 0$$ since all involved operations are continuous and $[0,+\infty)$ es cerrado.
La condición en $x^0$ sobrevivir el límite procedimiento similar.
(2) implica que $M \in \cal V$. Desde $\cal V$ incluye todos los de su límite de puntos, debe ser cerrado.
QED
ANEXO
Con respecto a los límites de la $\cal V$,$O(3,1)_+ \subset \partial \cal V$. De hecho, si $\Lambda \in O(3,1)_+$, entonces (a) pertenece a $\cal V$ y (b) hay un continuo de la curva de unirse a $\Lambda$ y algún punto en $M(4,\mathbb R) \setminus \cal V$. Es $$[1/2,1]\ni \Lambda_\lambda := \lambda \mapsto \mbox{diag}(\lambda, 1, 1, 1) \Lambda\:.$$
Para cada $\lambda \in [1/2,1)$, $\Lambda_\lambda \not \in \cal V$ porque transforma orientada hacia el futuro lightlike vectores en spacelike. Resumiendo, $\Lambda \in \cal V$, pero
$\Lambda \not \in Int(\cal V)$. Debe ser $\Lambda \in \partial \cal V$.
Sin embargo, el mismo razonamiento se aplica en el caso de la sustitución de $\Lambda$ puro, dilatación de transformación de $D_z u := z u$ $z>0$ fijo, para todos los $u \in \mathbb R^4$. Por eso, como $D_z \not \in O(3,1)_+$,$O(3,1)_+ \neq \partial \cal V$.
Composiciones $D_z \Lambda$ sin duda pertenecen a $\partial \cal V$. Sospecho que son los únicos elementos de esa frontera, y que (ver Qmechanic la respuesta) el casco convexo de un conjunto de esos elementos coincide a $\cal V$ sí.
