¿Explicación intuitiva de la fórmula de la longitud máxima de una tubería que se desplaza por una esquina?

Question

Para uno de mis problemas de deberes, teníamos que intentar encontrar la máxima longitud posible $L$ de un tubo (indicado en rojo) tal que pueda desplazarse por una esquina con longitudes de pasillo $A$ y $B$ (suponiendo que todo sea 2d, no 3d):

Mi profesor nos enseñó cómo obtener una fórmula para la longitud máxima posible de la tubería, llegando finalmente a la ecuación $L = (A^{2/3} + B^{2/3})^{3/2}$ .

El problema que tengo es entender intuitivamente por qué esta fórmula funciona, y exactamente lo que está haciendo. Entiendo los pasos dados para llegar a este punto, pero hay una simetría impar en el resultado final -- por ejemplo, es el hecho de que $\frac{2}{3}$ y su inversa son las únicas constantes utilizadas ¿sólo una coincidencia, o indicativo de alguna relación más profunda?

Tampoco entiendo muy bien cómo se relaciona, geométricamente, la fórmula con el diagrama. Si no hubiera trazado yo mismo los pasos, nunca habría adivinado que la fórmula guardaba relación alguna con el problema original.

Si es posible, ¿alguien puede dar una explicación intuitiva de por qué funciona esta fórmula y cómo interpretarla geométricamente?

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He aquí cómo encontró la fórmula, por si te resulta útil:

La fórmula se obtiene hallando la longitud máxima posible del tubo expresando la longitud en función del ángulo $\theta$ formado entre la tubería y la pared, y tomando la derivada para encontrar cuando $\frac{dL}{d\theta} = 0$ que es el mínimo de $\frac{dL}{d\theta}$ y es, por tanto, cuando $L$ es el más pequeño:

$$ L = \min_{0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}} \frac{A}{\cos{\theta}} + \frac{B}{\sin{\theta}} \\ 0 = \frac{dL}{d\theta} = \frac{A\sin{\theta}}{\cos^2{\theta}} - \frac{B\cos{\theta}}{\sin^2{\theta}} \\ 0 = \frac{A\sin^3{\theta} - B\cos^3{\theta}}{\sin^2{\theta}\cos^2{\theta}} \\ 0 = A\sin^3{\theta} - B\cos^3{\theta} \\ \frac{B}{A} = \tan^3{\theta} \\ \theta = \arctan{\left( \frac{B}{A} \right)^{\frac{1}{3}}} \\ $$

En este punto, podemos sustituir $\theta$ en la ecuación original para $L$ interpretando $A^{1/3}$ y $B^{1/3}$ como lados de un triángulo con ángulo $\theta$ y la hipotenusa $\sqrt{A^{2/3} + B^{2/3} }$ :

$$ \cos{\theta} = \frac{A^{1/3}}{ \sqrt{A^{2/3} + B^{2/3} }} \\ \sin{\theta} = \frac{B^{1/3}}{ \sqrt{A^{2/3} + B^{2/3} }} \\ \therefore L = A^{2/3} \sqrt{A^{2/3} + B^{2/3} } + B^{2/3} \sqrt{A^{2/3} + B^{2/3} } \\ L = (A^{2/3} + B^{2/3}) \sqrt{A^{2/3} + B^{2/3} } \\ L = (A^{2/3} + B^{2/3})^{3/2} \\ $$

La ecuación para la fórmula de la longitud máxima de la tubería es por tanto $L = (A^{2/3} + B^{2/3})^{3/2}$ .

Answer 1

He aquí una derivación sin trigonometría. También hay una breve discusión sobre el significado geométrico de los exponentes en la respuesta después de la derivación.

Sea $L$ sea la longitud de una línea que toca la esquina interior del dos pasillos y que se extienda hasta la pared exterior de cada pasillo. En el punto donde esta línea se encuentra con la pared exterior de cada pasillo, dibuja una línea perpendicular al pasillo. Sea $x$ sea la distancia de la esquina interior a la línea perpendicular a través del pasillo $B$ y que $y$ sea la distancia de la esquina interior a la línea perpendicular a través del pasillo $A$ . El resultado es la figura de arriba.

Aplicar el Teorema de Pitágoras a lo obvio triángulo rectángulo con hipotenusa $L$ , $$ L^2 = (A + x)^2 + (B + y)^2.$$

El tubo más largo que cabe en la esquina es el más pequeño valor de $L$ para cualquier valor $x > 0$ así que minimicemos $L$ en función de $x$ . Pero $L$ se minimiza cuando $L^2$ se minimiza, por lo que nos gustaría establecer $$ \frac{d}{dx} L^2 = 0. $$

Eso es, $$\begin{eqnarray} 0 = \frac{d}{dx} L^2 &=& \frac{d}{dx}\left((A + x)^2 + (B + y)^2\right) \\ &=& 2(A + x) + 2(B + y)\frac{dy}{dx}. \end{eqnarray}$$

Ahora, por triángulos similares, $ \dfrac Bx = \dfrac yA .$ Eso es, $xy = AB.$ Diferenciando ambos lados por $x$ , $$ x\frac{dy}{dx} + y = 0,$$ $$ \frac{dy}{dx} = -\frac yx.$$

Sustituyendo por $\frac{dy}{dx}$ en nuestra ecuación anterior para $\frac{d}{dx}L^2,$ $$ 0 = 2(A + x) + 2(B + y)\left(-\frac yx\right),$$

de lo que se deduce que $$ (A + x)x = (B + y)y,$$

Pero (de nuevo por triángulos similares) $$ \frac Bx = \frac{B+y}{A+x},$$ $$ B+y = \frac Bx (A+x),$$ y combinando esto con el hecho de que $y = \dfrac{AB}{x},$ $$ (B + y)y = \left(\frac Bx (A+x)\right) \frac{AB}{x} = \frac{AB^2}{x^2}(A + x).$$

Eso es, $$ (A + x)x = \frac{AB^2}{x^2}(A + x),$$ $$ x^3 = AB^2,$$ $$ x = A^{1/3}B^{2/3},$$ $$ y = \frac{AB}{x} = A^{2/3}B^{1/3},$$

$$A + x = A + A^{1/3}B^{2/3} = \left(A^{2/3} + B^{2/3} \right)A^{1/3},$$ y $$B + y = B + A^{2/3}B^{1/3} = \left(A^{2/3} + B^{2/3} \right)B^{1/3}.$$

Por lo tanto, en el valor de $x$ que minimiza $L$ ,

$$\begin{eqnarray} L^2 &=& (A + x)^2 + (B + y)^2 \\ &=& \left(A^{2/3} + B^{2/3} \right)^2 A^{2/3} + \left(A^{2/3} + B^{2/3} \right)^2 B^{2/3} \\ &=& \left(A^{2/3} + B^{2/3} \right)^2 \left(A^{2/3} + B^{2/3}\right) \\ &=& \left(A^{2/3} + B^{2/3} \right)^3 \end{eqnarray}$$

y $$ L = \left(A^{2/3} + B^{2/3} \right)^{3/2}.$$

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En cuanto a la simetría de la solución, es evidente que la longitud de la tubería no cambia si intercambiamos las etiquetas $A$ y $B$ en los dos pasillos. Deberíamos sospechar de esto que podría haber algunos expresión para $L$ en el que $A$ y $B$ aparecen en papeles completamente simétricos.

En cuanto a la interpretación geométrica de los exponentes, los hechos clave que conducen a la $\frac23$ exponentes son los resultados que $x^3 = AB^2$ y (por simetría) $y^3 = BA^2.$ Esto es lo que lleva a la conclusión de que $L$ es la hipotenusa de a triángulo rectángulo con catetos $A + A^{1/3}B^{2/3}$ y $B + B^{1/3}A^{2/3}$ ; es a partir de los cuadrados de esas dos longitudes que obtenemos términos en $A^{2/3}$ y $B^{2/3}$ .

Por último, obsérvese que si duplicamos ambos $A$ y $B$ simultáneamente, deberíamos esperar que toda la figura que muestra el ángulo "más cerrado" de la tubería alrededor de la esquina aumente en un factor de $2$ , por lo tanto $L$ también dobles. Pero vemos que $A^{2/3}$ y $B^{2/3}$ escala sólo por un factor de $2^{2/3}$ cuando doblamos $A$ y $B$ es el exponente de $\frac32$ fuera del paréntesis que nos da un factor de escala de $\left(2^{2/3}\right)^{3/2} = 2.$ Así que no es una mera coincidencia que los exponentes $\frac23$ y $\frac32$ son inversos multiplicativos.

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Otra forma de enfocarlo es aplicar el hecho de que $B+y = \dfrac Bx (A+x)$ antes de diferenciar $L^2$ y no después. Es decir, simplemente sustituimos $B+y$ en la fórmula de $L^2$ , obteniendo

$$\begin{eqnarray} L^2 &=& (A + x)^2 + \frac{B^2}{x^2}(A + x)^2 \\ &=& \left(1 + \frac{B^2}{x^2}\right) (A + x)^2. \end{eqnarray}$$

Podemos diferenciar esto con respecto a $x$ para obtener una solución analítica, o aplicar métodos numéricos utilizando $x$ como variable independiente.

Answer 2

Que yo sepa, no es un caso en el que exista una explicación intuitiva de este problema por sí solo. Aquí hay dos sustitutos:

En primer lugar, hay cálculos más sencillos que utilizan técnicas más avanzadas, y quizá estos cálculos hagan que la forma de la respuesta parezca menos misteriosa. Por ejemplo, si reformulamos la pregunta como

Halla la longitud del segmento de recta más corto desde $(x,0)$ a $(0,y)$ que pasa por $(a,b)$ .

entonces con un poco de geometría de coordenadas podemos reformularlo de nuevo como

Minimice $(x^2+y^2)^{1/2}$ sujeto a la restricción $\frac ax + \frac by = 1$ .

Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange del cálculo multivariable en esta versión del problema se obtiene rápidamente que el óptimo tiene $(x^3,y^3)$ proporcional a $(a,b)$ .

En segundo lugar, existe un panorama más amplio sobre este tipo de problema: si reformulamos la pregunta de nuevo sustituyendo $x,y$ con sus recíprocos, obtenemos la $p=-2$ caso del problema

Minimice $(x^p+y^p)^{-1/p}$ sujeto a la restricción $ax+by=1$ .

Expresiones como $(x^p+y^p)^{1/p}$ puede considerarse una noción más general de "distancia". En $p=2$ es la distancia habitual, como en el teorema de Pitágoras; con $p=1$ obtienes distancia en taxi para $p\ge 1$ se obtienen varias nociones extrañas de "distancia" que siguen actuando en algunos aspectos esenciales como la noción familiar; por ejemplo $0<p<1$ se obtienen nociones que siguen siendo algo distantes, pero no mucho; porque $p<0$ el sentimiento de "lejanía" ha quedado muy atrás, pero seguimos con el corazón robusto. ( Más .)

La relación entre el $p=-2$ noción de "distancia" que aparece en el enunciado (reformulado) del problema y en el $p=\frac23$ La noción de "distancia" que se da en la solución es muy estudiada; se dice que estas nociones de distancia son "duales" entre sí. Para las personas que han estudiado este tema, el resultado aquí es bastante natural: es "porque" $\frac23$ es el exponente conjugado de $-2$ . (Necesitamos una versión de la desigualdad de Hölder para exponentes negativos, que no siempre se enseña, pero existe).

(La noción de "dualidad" entre nociones de distancia tiene sus raíces en la geometría del siglo XIX, en los esfuerzos por entender las formas geométricas no sólo como conjuntos de puntos, sino también como envolventes de sus tangentes. Desde este punto de vista, podríamos decir que tu problema es dual a éste: si una escalera recta contra una pared se desliza hasta el suelo (su parte superior se desliza por la pared y su base se desliza por el suelo), ¿qué curva es tangente a la escalera en todo momento? Véase Astroide , donde verá su $\frac23$ .)

Así que no, la forma de la respuesta no es una coincidencia, pero que yo sepa sólo es "intuitiva" en retrospectiva, lo que en realidad sólo significa que se ha vuelto familiar.

Answer 3

Si este resultado pudiera explicarse intuitivamente, no habría sido necesario hacer los cálculos. A priori cabría esperar $L$ sea homogénea de grado $1$ en $A$ y $B$ además de ser simétrica en $A$ y $B$ . De hecho, el resultado del cálculo podría haber sido el siguiente $$L=2\min\{A,B\},\quad{\rm or}\quad L=\sqrt{A^2+AB+B^2}\ ,$$ o una expresión que incluya algún otro exponente en lugar de ${2\over3}$ .