Integral de $\frac{1}{(1+x^2)^2}$

Question

Yo estoy en el medio de un problema y tiene problemas para la integración de la siguiente integral:

$$\int_{-1}^1\frac1{(1+x^2)^2}\mathrm dx$$

He intentado hacer fracciones parciales y tengo:

$$1=a(1+x^2)+B(1+x^2)$$

No tengo ni idea de cómo solucionar esto ya que es obvio que no hay manera de anular $Un$ o $B$ a obtener de la otra variable. Por favor me guía.

Gracias.

Answer 1

Intenta hacer una sustitución $x=\bronceado u$. Aviso que $$ (1+x^2)^2=(1+\tan^2 u)^2=(\s^2 u)^2=\s^4 u $$ y $$ dx=\s^2 u\ du $$ Así que la integral indefinida es ahora $$ \int\frac{1}{\s^2 u}du=\int\cos^2 u\ du. $$

Esta nueva integrando debería ser más fácil de integrar. Sólo recuerde a cambio de sus límites para obtener una evaluación adecuada.

Answer 2

El integrando es ya un parcial de fracción, como se ha señalado por Qiaochu Yuan.

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Si queremos sumar y restar $x^2$ en el numerador, podemos integrar a la primera integral inmediatamente

$$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx &=&\int \frac{1}{1+x^{2}}dx-\int \frac{x^{2}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx \\ &=&\arctan x\int x\frac{x}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx \end{eqnarray*}$$

y la segunda integral por partes:

$$\begin{eqnarray*} \int x\frac{x}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}}dx &=&x\left( -\frac{1}{2\left( 1+x^{2}\right) }\right) +\int \frac{1}{2\left( 1+x^{2}\right) }dx \\ &=&-\frac{x}{2\left( 1+x^{2}\right) }+\frac{1}{2}\arctan x. \end{eqnarray*}$$

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Añadido: mediante la aplicación de este método $n-1$ veces, podemos reducir la integración de la función $f(x)=\dfrac{1}{\left( 1+x^{2}\right) ^{n}}$ para la integración de los $\dfrac{1}{1+x^{2}}.$

Answer 3

Si queremos resolver la integral mediante la integración parcial (como se indica en la pregunta), se puede romper la degeneración de la raíz del polinomio en el denominador de la cual impide la aplicación parcial de la fracción de expansión. I. e., escribir el más general integral $$\int_{-1}^1 \frac{dx}{(1+x^2)(a^2+x^2)}$$ y obtener el resultado que desea mediante el envío de $a\a 1$ en la final. Como quieres integral $x$ de -1 a 1 se debe mantener a $a>$ 1 y enviarlo a 1 de arriba.

El uso parcial de la fracción de expansión $$ \frac{1}{(1+x^2)(a^2+x^2)} = \frac1{(a^2-1)}\left[\frac1{(1+x^2)} - \frac1{(a^2 +x^2)}\right]$$ se puede reducir en más elementales integrales que se puede calcular fácilmente. El resultado se lee $$\int_{-1}^1 \frac{dx}{(1+x^2)(a^2+x^2)} = \frac{\arctan(x)-\arctan(x/a)/a }{a^2-1}\Bigr|_{x=-1}^1 \,.$$ El envío de $a\a 1$, se puede obtener (con de l'Hôpital) el resultado.

Answer 4

Otro enfoque a este es la diferenciación bajo el signo integral.

Sugerencia:

Si usted deja $$I(a) = \int_{-1}^1\frac{1}{a+x^2}\mathrm d x,$$ el valor que desea calcular es $$\left. -\frac{\partial}{\partial} I(a)\right|_{a=1}.$$

Ahora, $I(a)$ puede ser calculado utilizando la sustitución $x=\sqrt{a} \tan \theta$, como se ha mencionado en los comentarios.

EDIT: tenga en cuenta que como en Américo Tavares respuesta, esto se generaliza fácilmente a los poderes superiores de el integrando, sólo mediante la diferenciación en repetidas ocasiones, y tener cuidado con los signos.

Answer 5

Sugerencia:

En esta página, usted encontrará la fórmula de reducción de $$\int \frac{dx}{(x^2 +m^2)^k} = x\frac1{2 m^2 (k-1) (x^2 +m^2)^{k-1}}+ \frac{2k-3}{2m^2 (k-1)} \int \frac{dx}{(x^2 + m^2)^{k-1}}$$ que usted puede utilizar para su integral...