Derivado funcional en teoría del campo Lagrange

Question

El siguiente funcional derivada se tiene: \begin{align} \frac{\delta q(t)}{\delta q(t')} ~=~ \delta(t-t') \end{align} y \begin{align} \frac{\delta \dot{q}(t)}{\delta q(t')} ~=~ \delta'(t-t') \end{align} donde$'$$d/dt$.

Pregunta: ¿Qué es \begin{align} \frac{\delta q(t)}{\delta \dot{q}(t')}? \end{align} Yo estoy pidiendo esto porque en QFT, el profesor define la canónica impulso de campo a $\phi$ por \begin{align} \pi(x,t) ~:=~ \frac{\delta L(t)}{\delta \dot{\phi}(x,t)}, \end{align} donde $L$ es el Lagrangiano, un funcional de la esfera: $L[\phi,\partial_\mu \phi] = \int d^d x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$.

Sé que debo llegar \begin{align} \pi(x,t) ~=~ \frac{\partial \mathcal{L(x,t)}}{\partial \dot{\phi}(x,t)}. \end{align} (Nota ahora es una derivada parcial con respecto a la densidad Lagrangiana.) Pero haciendo lo que obtengo: \begin{align} \delta L = \int d^dx \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi} \delta\partial_\mu \phi. \end{align} Así que de alguna manera debemos ignorar el primer término $\int d^dx \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi$! ¿Por qué es eso?

No puede ser que estamos tratando $\delta \phi$ $\delta \dot{\phi}$ como independiente, porque si yo fuera a tomar el funcional derivado w.r.t. $\phi(x')$, Tendría que mover el punto de $\delta \dot{\phi}$ a $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}}$ que me va a dar

$$\int d^dx (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi}) \delta \phi$$

es decir, el funcional derivado da de Euler-Lagrange las ecuaciones.

Entonces, ¿cómo puedo tomar el funcional derivado de un funcional w.r.t para la derivada de una función?

Answer 1

Contrariamente a su demanda cerca del final de su pregunta, la afirmación de que el tiempo-derivado del campo es ser tratado como un "independiente" argumento de la Lagrangiana. Voy a tratar de convencerte de esto mostrando cómo esta independencia se lleva a todo el trabajo de la manera que usted piensa que debería ser. Algunos de los puntos clave están en la final, así que por favor lea todo el camino a través de antes de sucumbir al escepticismo.

Por el bien de la simplicidad, vamos a asumir desde el principio que estamos considerando una teoría clásica de los campos de $\phi:\mathbb R^2\to\mathbb R$. Deje $\mathcal F$ denota el conjunto de los admisible campos en esta teoría. Denotamos el primer campo argumento con $t$ y el segundo argumento con $x$, por lo que podemos escribir la $\phi(t,x)$ como de costumbre.

Ok, así que, ahora pasemos a la de Lagrange. Para describir esto correctamente, imagínese tomando el $x$ argumento de un campo en nuestra teoría fijo, entonces esto produce un valor real de la función de una sola variable real $\phi(\cdot, x):\mathbb R\to\mathbb R$. Supongamos que $\mathcal G$ denota el conjunto de tales funciones. Entonces el Lagrangiano puede ser definida como un funcional $L:\mathcal F\times\mathcal F\to\mathcal G$. En otras palabras, se hace en dos funciones que se asignan $\mathbb R^2\to\mathbb R$ y salidas de una función que se asigna a $\mathbb R\to\mathbb R$. Etiquetamos el primer argumento sugestivamente por $\phi$ y el segundo argumento sugestivamente por $\dot \phi$, pero, en principio, uno puede evaluar $L$ en cualquiera de los campos de $\phi$ $\psi$ que uno elige y escribe, por ejemplo,$L[\phi, \psi]$. Yo afirmación de que las definiciones de los funcionales pertinentes derivados son como sigue: \begin{align} \frac{\delta L}{\delta \phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \lim_{\epsilon\to 0}\frac{L[\phi+\epsilon\Delta_x,\dot\phi](t)-L[\phi,\dot\phi](t)}{\epsilon} \\ \frac{\delta L}{\delta \dot\phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \lim_{\epsilon\to 0}\frac{L[\phi,\dot\phi+\epsilon\Delta_x](t)-L[\phi,\dot\phi](t)}{\epsilon} \end{align} donde, estoy usando la notación \begin{align} \Delta_{x}(t,x') = \delta(x'-x) \end{align} Aviso que este es, esencialmente, como tomando derivadas parciales porque nos variar los argumentos de $L$ de forma independiente.

Ahora, supongamos que tenemos una teoría descrita por un Lagrangiano de la densidad, que es una función local del campo y sus primeras derivadas. Entonces el Lagrangiano de la densidad se define como una función de $\mathscr L:\mathbb R^3\to\mathbb R$, y, porque anticipamos que vamos a ser la colocación de los valores del campo y sus derivados en los argumentos de la densidad Lagrangiana, que la etiqueta de sus tres argumentos con los símbolos $\phi, \dot \phi, \phi'$. Los símbolos $\dot\phi$ $\phi'$ se supone que sugestivamente indicar que los argumentos de la densidad Lagrangiana están destinados a ser evaluados en los valores de un campo y su tiempo y en el espacio de derivados. Este es, por supuesto, un poco de un abuso de notación desde $\phi$ es generalmente reservado como un símbolo para el campo, en función de la $\mathbb R^2\to\mathbb R$, no por los valores del campo. Pero mientras mantengamos este abuso de notación en la mente, que no debe confundirse. Entonces tenemos \begin{align} L[\phi, \dot\phi](t) = \int dx' \,\mathscr L(\phi(t,x'), \dot\phi(t,x'), \phi'(t,x')) \end{align} Ahora vamos a aplicar las definiciones de los funcionales derivados de arriba y ver lo que tenemos. Por un lado, tenemos \begin{align} \frac{\delta L}{\delta \dot\phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \lim_{\epsilon\to0}\frac{\int dx'\,\mathscr{L}(\phi(t,x'),\dot{\phi}(t,x')+\epsilon\delta(x'-x),\partial_{x'}\phi(t,x'))-\int dx'\,\mathscr{L}}{\epsilon} \\ &= \int dx'\,\frac{\partial\mathscr L}{\partial \dot\phi}(\phi(t,x'), \dot\phi(t,x'), \phi'(t,x'))\,\delta(x'-x) \\ &= \frac{\partial\mathscr L}{\partial \dot\phi}(\phi(t,x),\dot\phi(t,x),\phi'(t,x)) \end{align} que es exactamente lo que usted dijo que usted debe conseguir en su pregunta. Del mismo modo, yo voy a dejar a usted para mostrar que la definición anterior los rendimientos \begin{align} \frac{\delta L}{\delta \phi(t,x)}[\phi,\dot\phi](t) &= \frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi}(\phi(t,x),\dot\phi(t,x),\phi'(t,x)) \\ &\hspace{2cm}-\frac{\partial}{\partial x}\left[\frac{\partial\mathscr L}{\partial \phi'}(\phi(t,x),\dot\phi(t,x),\phi'(t,x))\right] \end{align} o, si nos relajamos la notación un poco, ya que sabemos lo que estamos haciendo ahora, podemos resumir esto como \begin{align} \frac{\delta L}{\delta \dot\phi} = \frac{\partial\mathscr L}{\partial\dot\phi}, \qquad \frac{\delta L}{\delta \phi} = \frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi'} \end{align} Ahora, supongamos que queremos obtener de Euler-Lagrange las ecuaciones. Para ello, vamos a definir la acción para nuestra teoría como una función de $S:\mathcal F\to\mathbb R$ como sigue: \begin{align} S[\phi]=\int dt \,L[\phi, \dot\phi](t) \end{align} Observe que aquí, el símbolo de $\dot\phi$ hace denotar el parcial de tiempo-derivado del campo de la $\phi$, es decir,$\dot\phi = \partial_t\phi$. El punto clave aquí es que aunque los argumentos de la de Lagrange son independientes, siempre tenemos la libertad para evaluar los argumentos en un campo y sus derivados, que ciertamente no son independientes. En particular, esto significa que si queremos variar la acción, entonces en la integral en el lado derecho, se puede realizar el tipo de integración por partes que estaban preocupados de que no sería capaz de hacer. De hecho, si se varía la acción, a continuación, usted encontrará que \begin{align} \delta S[\phi] &= \int dt\,dx\,\left[\frac{\delta L}{\delta\phi} - \frac{\partial}{\partial t}\frac{\delta L}{\delta\dot\phi}\right]\delta\phi \end{align} por lo que al establecer la variación a cero, y el uso de los resultados que se derivan sobre el uso de los reclamos de las definiciones de la parcial variacional derivados, se obtiene el estándar de Euler-Lagrange las ecuaciones \begin{align} \frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi} -\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot\phi} - \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \mathscr L}{\partial \phi'}=0. \end{align}

Answer 2

Esta respuesta puede ser vista como un complemento a la joshphysics' respuesta correcta, posiblemente destacando ligeramente diferente de las cosas y el uso de palabras ligeramente diferentes.

Antes de definir funcional/variacional derivados en el formalismo de Lagrange, es crucial para entender exactamente cuáles son las variables independientes el uno del otro y que no? En otras palabras, las variables que podemos variar libremente y que no podemos?

Este es el más sencillo de entender en el punto de la mecánica (PM), véase, por ejemplo, este Phys.SE post. Aquí nos vamos a centrar en $n+1$ dimensiones de la teoría de campo (FT) con $n$ dimensiones espaciales y una dimensión temporal.

Supongamos por simplicidad, suponga que sólo hay un campo de $q$ (que para la semántica razones llamar a un campo de posición). El campo $q$ es entonces una función de $q:\mathbb{R}^{n}\times[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$. También hay un campo de velocidad $v:\mathbb{R}^{n}\times[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$.

I) que no sea debido a un arbitrario pero fijo instante de tiempo $t_0\in [t_i,t_f]$. El (instantánea) de Lagrange es un local funcional

$$L[p(\cdot,t_0),v(\cdot,t_0);t_0] ~=~\int \!d^nx~{\cal L}\left(q(x,t_0),\parcial de p(x,t_0),\partial^2q(x,t_0), \ldots,\partial^Cn(x,t_0);\right. $$ $$\left. v(x,t_0),\partial v(x,t_0),\partial^2 v(x,t_0), \ldots,\partial^{N-1} v(x,t); x,t_0\right),\tag{1} $$

donde $\partial$ denota espacial (como opuesto a temporal) de derivados. Aquí $N$ es finito para un local PIES, y $N\leq 1$ para un relativista FT. El Lagrangiano de la densidad de ${\cal L}$ es una función de las variables enumeradas en la ecuación (1).

El (instantánea) de Lagrange (1) es un funcional tanto de la instantánea de la posición $q(\cdot,t_0)$ y la velocidad instantánea $v(\cdot,t_0)$ en el instante en que $t_0$. Aquí $q(\cdot,t_0)$ $v(\cdot,t_0)$ son independientes de las variables. Más precisamente, son independientes (distribución espacial) de los perfiles, o en otras palabras, independiente de las funciones de $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ sobre el $x$-espacio. El (instantánea) de Lagrange (1) puede, en principio, también dependen explícitamente en $t_0$. Tenga en cuenta que el (instantánea) de Lagrange (1) no depende del pasado $t<t_0$ ni el futuro lo $t>t_0$.

Por lo tanto tiene sentido definir la igualdad de tiempo de diferenciaciones funcionales como

$$\frac{\delta p(x,t_0)}{\delta q(x^{\prime},t_0)} ~=~\delta^n(x-x^{\prime}), \qquad \frac{\delta v(x,t_0)}{\delta q(x^{\prime},t_0)}~=~0,$$ $$ \frac{\delta v(x,t_0)}{\delta v(x^{\prime},t_0)} ~=~\delta^n(x-x^{\prime}),\qquad \frac{\delta p(x,t_0)}{\delta v(x^{\prime},t_0)}~=~0. \etiqueta{2} $$

Y tiene sentido definir canónica impulso como

$$p(x,t_0) ~:=~\frac{\delta L[p(\cdot,t_0),v(\cdot,t_0);t_0]}{\delta v(x,t_0)}, \etiqueta{3} $$

donde implícitamente se entiende que la posición $q$ se mantiene fijo en la velocidad de la diferenciación (3). En el $N\leq 2$ de los casos, el campo de la teoría de impulso de la definición (3) se convierte en

$$p(x,t_0)~=~\left(\frac{\partial }{\partial v(x,t_0)}- \sum_{i=1}^n\frac{d}{dx^i}\frac{\partial }{\partial (\partial_iv(x,t_0))}\right) {\cal L}\left(q(x,t_0),\parcial de p(x,t_0),\partial^2q(x,t_0); v(x,t_0),\partial v(x,t_0);x,t_0\right) .\la etiqueta{4} $$

En el $N\leq 1$ de los casos, el campo de la teoría de impulso de la definición (3) se convierte en sólo una derivada parcial

$$p(x,t_0) ~=~\frac{\partial{\cal L}\left(q(x,t_0),\parcial de p(x,t_0); v(x,t_0);x,t_0\right) }{\partial v(x,t_0)} .\la etiqueta{5} $$

II) por último nos vamos a integrar a lo largo del tiempo $t\in[t_i,t_f]$. La acción funcional lee:

$$ S[q]~:=~\int_{t_i}^{t_f} \! dt~ \left. L[q(\cdot,t),v(\cdot,t);t]\right|_{v=\dot{q}}.\tag{6}$$

Aquí el tiempo derivativo $v=\dot{q}$ no dependen de la función de $q:\mathbb{R}^{n}\times[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$.

$$\frac{\delta p(x,t)}{\delta q(x^{\prime},t^{\prime})} ~=~\delta^n(x-x^{\prime})\delta(t-t^{\prime}), \etiqueta{7} $$

$$\frac{\delta \dot{q}(x,t)}{\delta q(x^{\prime},t^{\prime})} ~=~\delta^n(x-x^{\prime})\frac{d}{dt}\delta(t-t^{\prime}) ~\equiv~\delta^n(x-x^{\prime})\delta^{\prime}(t-t^{\prime}). \etiqueta{8} $$

En particular, hace que no tenga sentido para variar de forma independiente wrt. a la velocidad en la acción (6), manteniendo la posición fija.

Ver también esta relacionada con Phys.SE post.