Un par de preguntas acerca de Hilbert triple/Gelfand triple

Question

Estoy tratando de entender completamente Hilbert se triplica por la lectura de Brezis' Análisis de la Función del libro.

Considere la posibilidad de $V \subset H \subset V^*$ donde $V$ es de Banach y $H$ es de Hilbert. $V$ es denso en $H$.

¿Por qué necesitamos la densidad de $V$?

Asumir la inyección de $V \subset H$ es continua. Hay un canónica mapa de $T:H^* \to V^*$ que sólo restringe funcionales en $H$ para tener argumentos restringido a $V$.

$T$ tiene las propiedades: (1) $|Tf|_{V^*} \leq C|f|_{H^*},$ (2) $T$ es inyectiva, (3) $R(T)$ es denso en $V^*$ si $V$ es reflexiva.

¿Por qué necesitamos a $V \subset H$ ser continua? ¿Cuál es la necesidad de que estas tres propiedades? No estoy preguntando "¿por qué son true", pero ¿cuál es la importancia de estas propiedades para esta discusión? La segunda está bien, supongo. Supongo que la tercera propiedad está bien, ya que dice que puede conseguir cerca de como se quiere a un elemento de $V^*$ por elementos en $H^*$, pero entonces, ¿qué?

La identificación de $H^*$ $H$ y el uso de $T$ como canónica de la incrustación de $H^*$ a $V^*$, escribimos $V \subset H \equiv H^* \subset V^*$, donde todas las inyecciones son continuas y densas.

¿Por qué es continua y densa que vale la pena destacar?

La situación es más delicada si $V$ resulta ser un espacio de Hilbert con su propio interior del producto. Podríamos identificar a $V$ $V^*$ con este producto interior, pero luego la de Hilbert triple convierte en absurdo. No podemos a la vez de identificar tanto las $V$ $H$ con sus dobles espacios. Aquí es un ejemplo instructivo.

Deje $H = \ell^2$, $(u,v)_H = \sum u_nv_n$ $V = \{u : \sum n^2u_n^2 < \infty\}$ $(u,v)_V = \sum n^2u_nv_n.$ Clara $V \subset H$ es densa y continua de la inyección. Identificamos $H$ $H^*$ mientras $V^*$ se identifica con $$V^* = \{f : \sum \frac{1}{n^2}f_n^2 < \infty \}$$ que es más grande que $H$. El producto escalar $\langle , \rangle_{V^*, V}$$\langle f, v \rangle_{V^*, V}= \sum f_nv_n$.

Puede alguien explicar este "instructivo ejemplo" a mí como no me entienden el punto.

Lo siento por tantas preguntas, pero yo realmente no entiendo a este tema. Gracias por la ayuda. Ya he leído otros hilos sobre este tema, por cierto..

Answer 1

Las características que mencionas son una abstracción de importantes ejemplos concretos, tales como Levi-espacios de Sobolev $H^1(S^1) \subset L^2(S^1) \subset H^{-1}(S^1)$ sobre el círculo de $S^1$. Así que, en realidad, parte de la razón de las "propiedades" que son lo que tenemos en este (y relacionados) ejemplos.

Además, la abstracción es la captura de las características que _turn_out_ a ser relevantes para hacer las cosas. Pero, en primer lugar, la continuidad lineal de mapas es una cosa que uno debe renunciar sólo con gran pesar y precaución. Segundo, $V\subset H$ denso de la imagen no es sólo lo que tenemos en los ejemplos, pero tiene la característica positiva que el medico adjunto mapa de $H^*\rightarrow V^*$ es de nuevo una inyección.

El último párrafo de la cita de Brezis es exactamente mirar el caso de la serie de Fourier de funciones en la de Levi-Sobolev en espacios, el uso de Plancherel. Así, en primer lugar, la continuidad y tales son verificadas directamente. Entonces, no es la más loca punto de que estos "triples" parecen estar en conflicto con una cosa que muchas personas tienen sobre interpretado, es decir, la posibilidad de identificar el dual de un espacio de Hilbert con sí mismo (no importa la compleja conjugación, ese no es el problema) por Riesz-Fischer. De hecho, es eminentemente-capaz de hacer-ejercicio para demostrar que isomorphisms $i:V\rightarrow V^*$ $j:W\rightarrow W^*$ (ya sea por Riesz-Fischer o cualquier otra cosa) son compatibles con $T:V\rightarrow W$ e su (natural!) adjoint $T^*:W^*\rightarrow V^*$ sólo al $T$ es inyectiva y es un homeomorphism a su imagen, que debe ser un subespacio cerrado. Es decir, las condiciones bajo las cuales la plaza $$ \matriz{ V & {T}\cima{\rightarrow} & W \cr i\downarrow & & \downarrow j \cr V^* & {T^*}\cima{\leftarrow} & W^* } $$ los viajes son muy restrictivas. La trampa está en "identificar" un espacio de Hilbert y su dual simplemente porque no es un isomorfismo.