El significado de los diferenciales

Question

Así que piense en Entiendo lo que son los diferenciales, pero dime si me equivoco.

Así que tomemos $y=f(x)$ tal que $f: [a,b] \subset \Bbb R \to \Bbb R$ . En lugar de definir la derivada de $f$ en términos de los diferenciales $\text{dy}$ y $\text{dx}$ tomamos la derivada $f'(x)$ como nuestra "primitiva". Entonces para definir los diferenciales hacemos lo siguiente:

Encontramos algunos $x_0 \in [a,b]$ donde hay alguna vecindad de $x_0$ , $N(x_0)$ , de tal manera que todos los $f(x)$ en $\{f(x) \in \Bbb R \mid x \in N(x_0)\}$ son diferenciables. Entonces elegimos otro punto en $N(x_0)$ Llamémoslo $x_1$ , de tal manera que $x_1 \ne x_0$ . Entonces dejemos que $dx = \Delta x = x_1 - x_0$ . Ahora bien, este $\Delta x$ en realidad no tiene que ser muy pequeño como nos enseñan en Cálculo 1 (en concreto no es infinitesimal, es finito). De hecho, mientras $f(x)$ es diferenciable para todo $x \in [-10^{10}, 10^{10}]$ podríamos elegir $x_0 = -10^{10}$ y $x_1 = 10^{10}$ .

Entonces sabemos que $\Delta y = f'(x_0) \Delta x + \epsilon(\Delta x)$ , donde $\epsilon(\Delta x)$ es una función no lineal de $\Delta x$ . Si $f(x)$ es suave, sabemos que $\epsilon(\Delta x)$ es igual a la suma de las potencias de $\Delta x$ con algunos coeficientes, por el teorema de Taylor. Pero por supuesto, $\epsilon(\Delta x)$ no será tan fácil de describir si $f(x)$ es sólo una vez diferenciable. Así que definimos $dy$ como $dy = f'(x_0) dx$ Es decir, que.., $dy$ es el parte lineal de $\Delta y$ . Esto tiene la muy útil propiedad de que $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx} = f'(x_0)$ . Esto es entonces no es una definición de la derivada, sino una consecuencia de nuestras definiciones.

Se puede ver en este $dy$ depende realmente de lo que elijamos como $dx$ pero $f'$ es independiente de ambos.

Esta definición puede extenderse a funciones de múltiples variables, como $z = f(x, y)$ también, dejando que $\Delta x = dx,\ \Delta y=dy$ y definiendo $dz$ como $dz = \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x}dx + \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} dy$ . Así que $dz$ es la parte lineal de $\Delta z$ . ¿Todo lo anterior parece correcto?

Si es así, entonces donde tengo un problema es:
1) cómo entonces hacer definimos la derivada de $f(x)$ si no es por $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ ?
2) ¿Cómo aplicamos esta definición de $dx$ a $\int_a^b f(x)dx$ ? Parece que la arbitrariedad inherente a $dx$ va a obstaculizar una buena definición de la integral.

Answer 1

$\mathrm{d}y$ depende sólo de $y$ : no depende de ninguna elección de $x$ o cualquier otra cosa: esa es una de las grandes ventajas de las diferenciales (frente a, por ejemplo, las derivadas parciales).

Un diferencial es un artilugio que expresa cómo algo varía. Hay tres cosas principales que se pueden hacer con un aparato de este tipo:

• Puede comparar dos diferenciales: por ejemplo, si $x$ y $y$ son dependientes entre sí de forma diferenciable, entonces son múltiplos uno del otro, por ejemplo, si $y = f(x)$ entonces $\mathrm{d}y = f'(x) \mathrm{d}x$ .
• Dada una diferencial, se puede preguntar si tiene una antiderivada: por ejemplo $2x \mathrm{d}x$ es la diferencial (a menudo llamada "derivada exterior") de $x^2$ .
• Se puede calcular una integral (de trayectoria) para "sumar" a lo largo de una trayectoria todas las variaciones que expresa la diferencial, por ejemplo $\int_0^1 2x \mathrm{d}x$ significa que "acumulamos" todas las variaciones $2x \mathrm{d}x$ al pasar de $x=0$ a $x=1$ . Y como sabemos $2x \mathrm{d}x = \mathrm{d}(x^2)$ nuestra intuición se satisface en el sentido de que la acumulación de cómo $x^2$ varía de $x=0$ a $x=1$ se traduce en $1^2 - 0^2$ .

También puedes pedirle a la diferencial que te dé un número ordinario que exprese una variación a lo largo de un vector (tangente). Una notación común para esto es, por ejemplo, en $(x,y)$ coordenadas, para que el símbolo $\partial/\partial x$ y $\partial/\partial y$ denotan vectores, y para una diferencial $\omega$ la notación $\frac{\partial}{\partial x} \omega$ significa número ordinario que $\omega$ produce para una variación por el vector $\partial/\partial x$ .

Por ejemplo, tenemos $$ \frac{\partial}{\partial x} \mathrm{d}x = 1 \qquad \qquad \frac{\partial}{\partial x} \mathrm{d}y = 0 \qquad \qquad \frac{\partial}{\partial y} \mathrm{d}x = 0 \qquad \qquad \frac{\partial}{\partial y} \mathrm{d}y = 1$$

Esto es coherente con la notación para las derivadas parciales que has aprendido, en el sentido de que, por ejemplo,

$$ \frac{\partial}{\partial x} f = \frac{\partial}{\partial x} \mathrm{d} f $$

donde el lado izquierdo es el significado tomado del cálculo multivariable introductorio, y el lado derecho es el significado que describo arriba. (normalmente se introduce por primera vez en la geometría diferencial)

Por cierto, creo que la notación de la derivada parcial es absolutamente terrible, y evito usarla siempre que sea posible. También creo que las diferenciales son más intuitivas que las derivadas parciales, y prefiero hacer todo mi cálculo en términos de diferenciales estos días. Un análogo conveniente a $f'$ para funciones multivariables es dejar, por ejemplo $f_1$ denotan la derivada de $f$ en su primer argumento, $f_2$ denotan la derivada en el segundo argumento, y así sucesivamente. Así que preferiría escribir

$$ \mathrm{d}f(x,y) = f_1(x,y) \mathrm{d}x + f_2(x,y) \mathrm{d}y $$

en lugar de cualquier cosa que se parezca a la noción tradicional de derivadas parciales. Si quiero derivadas en la dirección en la que $y$ se mantiene constante, lo expreso como la fijación de $\mathrm{d}y = 0$ en lugar de recurrir a las derivadas parciales.

Este uso de la combinación de vectores con diferenciales está relacionado con el (desgraciadamente común) error/abuso de notación que se ve a menudo, donde la notación $\mathrm{d}x$ se trata un cambio real en $x$ en lugar de un gadget que te diga cuál es el cambio en $x$ es.

Answer 2

Además, la definición de derivado que aprendí fue $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ ...básicamente subir por encima de correr como correr ( $\mathrm{d}x$ ) se aproxima $0$ (de ahí el concepto de línea tangente).

Answer 3

Aquí OP. Creo que lo he resuelto:

Esta definición parece ser válida para la diferenciación y la integración.

Diferenciación
Mi preocupación aquí era que porque $\Delta x = dx$ y $\Delta y$ es una función de $\Delta x = dx$ que $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ también dependerá de $dx$ , lo que haría que la definición $f'(x) := \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ un argumento circular (como $dx$ se definió en términos de $f'(x)$ ) -- pero en realidad, sólo es $dy$ que se define en términos de $f'(x)$ . $dx$ es sólo un cambio arbitrario en $x$ es decir, $dx = x_1 - x_0$ . Necesitamos $f'(x_0)$ para ser definido en términos de $x_0$ pero la arbitrariedad inherente a $x_1$ haría que cualquier cosa definida explícitamente en términos de $dx$ no está bien definida. Sin embargo, lo que la operación límite realmente lo hace es eliminar la arbitrariedad de $x_1$ . Es decir, cuanto más pequeño hagamos $\| x_1 - x_0 \|$ cuanto menos "arbritrario" $x_1$ es. En el límite, ha perdido toda su "arbitrariedad". Así que $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ no depende en realidad del valor que seleccionemos inicialmente para $x_1$ en absoluto . Así que bien, esta definición funciona para la diferenciación.

Integración
No pude averiguar aquí lo que un intervalo arbitrariamente grande $dx$ (es raro escuchar $dx$ descrito como "grande", ¿no es así?) tenía que ver con la integración (y por lo tanto por qué estaría en el integrando ). Pero de nuevo, un intervalo arbitrario bajo un proceso desarbitrado (un límite) es exactamente lo que necesitamos. En este caso $\int_a^b f(x)dx$ realmente significa algo así como $$\lim_{\| dx_i \| \to 0} \sum_{i=0}^n f(x_i)dx_i= \lim_{\max(x_{i+1}-x_i) \to 0} \sum_{i=0}^n f(x_i)(x_{i+1} - x_i)$$ donde cada $dx_i$ es un subintervalo de $[a,b]$ . Obsérvese que cada $x_{i+1} \to x_i$ y por lo tanto $x_{i+1}$ pierde su "arbitrariedad" en este límite.
En caso de que estés pensando que estos $dx_i$ no se definen igual que en mi pregunta, fíjate que en la definición que di, $x_0$ fue fijada por el problema -- nuestra única variable que fue libre de fijar fue $x_1$ . Así es exactamente como estos $dx_i$ están definidos: por ejemplo, el primero, $dx_0 = x_1 - x_0 = x_1 - a$ para un número arbitrario de $x_1 \in (a,b]$ . Suponiendo que $x_1 \ne b$ entonces para completar nuestra partición debemos definir otro subintervalo $dx_1 = x_2 - x_1$ , donde $x_1$ en este caso es no arbitraria -- está definida para ser el punto final de nuestra $1^{st}$ (o $0^{th}$ tal vez debido a la forma en que elegí para definir mi partición) subintervalo - pero $x_2$ es elegido arbitrariamente en el intervalo $(x_1, b]$ . Y así sucesivamente.

NOTA: No me gusta especialmente la notación que he utilizado para "definir" la integración arriba (el $\lim_{\| dx_i \| \to 0} \dots$ parte), una de las varias razones es que realmente no te lo dice en el límite, $n \to \infty$ . La página de wikipedia sobre la integral de Riemann no tiene dicha ecuación (sólo la describen con palabras... ugh). ¿Conocen ustedes una notación mejor?

Conclusión:
Parece que la definición de $dx:=\Delta x$ y $dy:=f'(x)dx$ hace exactamente lo que tiene que hacer. La relación entre ambos puede utilizarse para aproximar pequeños cambios en $\Delta y$ ni la diferenciación ni la integración se definen en términos de $dy$ y aunque ellos son ambos definidos en términos de $dx = x_1 - x_0$ son no dependiente sobre cualquier valor que seleccionemos inicialmente para $x_1$ y probablemente una de las mejores cosas es que porque $dx$ y $dy$ son finitos, la relación $f'(x) = \frac{dy}{dx}$ se mantiene para cualquier diferencial $f$ .

NOTA: Esta definición de $dx$ y $dy$ no parece ser el mismo que el utilizado en la geometría diferencial, tal y como lo describe Hurkyl. Pero entonces, no estoy del todo seguro porque no entiendo completamente la respuesta de Hurkyl. Si alguien conoce un buen manual sobre las notaciones y los conceptos que utiliza -- adecuado para alguien que haya pasado por la secuencia de cálculo y álgebra lineal solamente -- le agradecería un enlace. Sin embargo, aunque las definiciones son diferente, no significa que el mío no sea utilizable - de hecho, a menos que ustedes puedan presentar una situación en la que $dx = x_1 - x_0$ y $dy = f'(x)dx$ (donde $dx$ y $dy$ pueden ser arbitrariamente grandes) no hacen lo que se supone que deben hacer, voy a tomarlos como mi definición de ellos a partir de ahora .

Answer 4

Las diferenciales son cambios infinitamente pequeños en x o y. Por ejemplo, el concepto de integral es la suma de las áreas de un número infinito de rectángulos bajo una curva. La altura de cada uno es f(x) y la anchura es dx.