¿Comprensión básica de cocientes de "cosas"?

Question

Mi álgebra moderna necesita algo de trabajo. ¿Estoy en lo correcto al pensar que $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ se refiere a los dos conjuntos $$\{\pm0, \pm2, \pm4, \pm6, \ldots\}$$ y $$\{\pm1, \pm3, \pm5, \pm7\}?$$ ¿Qué tal $\mathbb{R}/2\mathbb{Z}$ si tiene sentido escribirlo? ¿Significaría eso $$\{,\ldots,[0,1),[2,3),[4,5),\ldots\}$$ y $$\{\ldots,[1,2),[3,4),[5,6),\ldots\}?$$ Todavía no he investigado estos "cocientes" como creo que se llaman. Está en mi lista de cosas por hacer. ¿Creo que tienen que ver con clases de equivalencia? ¿Hay algunos ejemplos más "exóticos" con ejemplos concretos de los conjuntos producidos como arriba? Solo pregunto para ver si estoy pensando en la dirección correcta. Así que mi entendimiento original de $\mathbb{R}/2\mathbb{Z}$ era incorrecto (como se señala en las respuestas abajo).

EDICIÓN

No estoy seguro si esta es una buena manera de visualizar lo que ocurre con, por ejemplo, $\mathbb{R}/2\mathbb{Z}$, pero imagina el plano cartesiano con los ejes $x$ e $y$. Para $\mathbb{R}/2\mathbb{Z}$ puedo ver que el lado izquierdo ($\mathbb{R}$) corresponde al eje $y$ y el lado derecho ($2\mathbb{Z}$) corresponde a los enteros en el eje $x$. Si imagino $2\mathbb{Z}$ en el eje $x$ cortando el plano verticalmente, entonces lo que queda son un número infinito de cortes cada uno de ancho $2$. El cociente de alguna manera toma todos estos cortes y los apila uno encima del otro de manera que la única información disponible para mí pertenece a $[0,2)$. La posición a lo largo del eje $x$ se pierde.

Answer 1

Una buena manera de pensar en los cocientes es fingir que nada ha cambiado excepto tu concepto de igualdad.

Puedes pensar en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ como simplemente los enteros (bajo la adición) pero los múltiplos de 2 (es decir, elementos de $2\mathbb{Z$) son eliminados como si fueran cero. Así que en este mundo de cociente $1=3=-5=41$ etc. y $0=6=104=-58$ etc.

¿Cuánto es $1+1$? Bueno, $1+1=2$. Pero en este grupo cociente $2=0$ así que $1+1=0$. Nota que $1=-3=99$ así que $1+1=-3+99=96$ (que también $=0$). "Representantes" equivalentes dan respuestas equivalentes.

Formalmente, sí, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{0+2\mathbb{Z}, 1+2\mathbb{Z}\}$ donde $0+2\mathbb{Z}=2\mathbb{Z}=$ enteros pares y $1+2\mathbb{Z}=$ enteros impares.

Una versión más formal de mi cálculo anterior: $(1+2\mathbb{Z})+(1+2\mathbb{Z}) = (-3+2\mathbb{Z})+(99+2\mathbb{Z}) = (-3+99)+2\mathbb{Z} = 96+2\mathbb{Z}=0+2\mathbb{Z}$.

Si nos movemos a $\mathbb{R}/2\mathbb{Z}$, entonces los elementos son clases de equivalencia: $x+2\mathbb{Z} = \{x+2k \;|\; k \in \mathbb{Z}\} = \{\dots,x-4,x-2,x,x+2,x+4,\dots\}$. La adición funciona exactamente igual que en $\mathbb{R}$ (excepto que hemos ampliado lo que significa "igual"). Así que $((3+\sqrt{2})+2\mathbb{Z})+((-10+\pi)+2\mathbb{Z}) = (7+\sqrt{2}+\pi)+2\mathbb{Z}$. Por supuesto, aquí, $7+\sqrt{2}+\pi$ podría ser reemplazado por algo como $-3+\sqrt{2}+\pi$.

De hecho, cada $x+2\mathbb{Z}$ es igual a $x'+2\mathbb{Z}$ donde $x' \in [0,2)$ (agrega un entero par apropiado a $x$ para estar dentro del intervalo $[0,2)$). Así que como un conjunto $\mathbb{R}/2\mathbb{Z}$ es esencialmente $[0,2)$ (cada clase de equivalencia en el cociente puede ser representada única por un número real en $[0,2)$).

Alternativamente, piensa en este grupo como $[0,2]$ con $0=2$. Toma el intervalo $[0,2]$ y pega los extremos juntos. Es un grupo de círculo. Básicamente $\mathbb{R}/2\mathbb{Z}$ como grupo es como añadir ángulos (pero $2=0$ no $2\pi=0$). :)

Answer 2

Tomar cocientes significa considerar la igualdad hasta algo que no te interesa. Esto corresponde siempre a la construcción de clases de equivalencia, como has señalado correctamente. Sin embargo, en la mayoría de los usos prácticos, uno está interesado en los casos en que el mapeo que envía los elementos a sus clases de equivalencia respeta además la estructura subyacente.

Por ejemplo, el hecho de que sólo se puedan tomar cocientes de grupos por subgrupos normales, y no cualquier subgrupo, está relacionado con esto:

En efecto, si se tiene un subgrupo $N$ de un grupo $G$ entonces $a\sim b:\Leftrightarrow ab^{-1}\in N$ siempre proporciona una partición de $G$ en subconjuntos disjuntos (esto no es trivial pero tampoco es demasiado difícil de demostrar). Llamemos al conjunto de estos subconjuntos disjuntos $H$ . Ahora puede definir $\phi:G\to H$ por $a\mapsto \phi(a):=aN$ y esto identifica elementos $a,b\in G$ para lo cual $a=nb$ para algunos $n\in N$ es decir, elementos que son iguales hasta algún elemento de $N$ .

Sin embargo, $\phi$ NO es siempre un homomorfismo de grupo. Vamos a encontrar alguna condición necesaria para $\phi$ para ser un homomorfismo asumiendo que lo es: Claramente, la imagen $\phi(e)=N\in H$ del elemento de identidad $e\in G$ debe ser el elemento de identidad de $H$ independientemente de la estructura de grupos que se utilice en $H$ . Desde $\phi^{-1}(N\in H)=N\subset G$ (muéstrelo usted mismo) esto demuestra que $N=\ker\phi$ . Pero cualquier subgrupo que es un núcleo de algún homomorfismo satisface $a(\ker\phi)=(\ker\phi) a$ para cualquier $a\in G$ que es la caracterización de los subgrupos normales. Por lo tanto, hemos visto que el mapa que cotiza $N$ sólo puede ser un homomorfismo cuando $N$ es un subgrupo normal. (Es fácil demostrar que la normalidad no sólo es necesaria sino también suficiente para $\phi$ es un homomorfismo si $H$ está dotado de la estructura evidente $aN\times bN:= (a\times b)N$ .)

Resumen: puedes tomar cocientes con cualquier subgrupo, y esta toma de cocientes identificará elementos hasta algo que no te interesa. Sin embargo, si tu subgrupo no es normal, esta partición es bastante inútil porque no puedes hacer más álgebra con ella.

Answer 3

Los elementos de $\Bbb R/2\Bbb Z$ son de la forma: $$\{x,x\pm2,x\pm4,\ldots,x\pm 2n,\ldots\},$$ donde $0\le x<2$.