¿Por qué $H^n(\mathbb{P}_k^n, \omega) \cong k$ ?

Question

Hartshorne hace que esto parezca una coincidencia: usamos la cohomología de Cech en la cubierta afín abierta habitual $\mathcal{U}$ para obtener el complejo de la cadena

$$\check{C}^\bullet\left(\mathcal{U}, \bigoplus_{n \in \mathbb{Z}} \mathcal{O}(n)\right): 0 \to \bigoplus_i S_{x_i} \to \cdots \to \bigoplus_i S_{x_0\cdots\hat{x_i}\cdots x_r} \to S_{x_0 \cdots x_r}\to 0,$$

calcular el núcleo del último mapa para obtener los grupos de cohomología $\check{H}^r(\mathcal{U}, \mathcal{O}(n))$ y luego observar que es unidimensional cuando $n = -r - 1$ . ¡Voilà! ¡Qué casualidad!

Sin embargo, seguro que aquí hay una razón real. ¿Cuál?

Answer 1

Esta es una historia muy larga e interesante.
En pocas palabras: es la dualidad de Serre, que afirma que para una variedad proyectiva lisa $X$ de dimensión $n$ y una gavilla localmente libre $V$ en $X$ tenemos un isomorfismo canónico $$ H^i(X, V)\cong (H^{n-i}(X, \check{V}\otimes \omega))^* $$ [El signo Čech más $V$ denota el haz vectorial dual y la estrella denota el dual $k$ -espacio vectorial ]

Su caso sigue tomando $X=\mathbb P^n, V=\omega, i=n$ y notando que $\omega=\mathcal O_{\mathbb P^n}(-n-1)$ .

Editar
Serre presentó su teorema de dualidad en "Un théorème de dualité" , Comm.Math.Helv. 29 (1955) Théorème 4. Trabajó en el contexto de las variedades holomorfas y la cohomología que utiliza es la cohomología de Dolbeault.
El análogo algebraico fue desarrollado por Grothendieck y su escuela.
La cohomología que utilizan es la cohomología de funtores derivados, introducida por Grothendieck en su artículo de Tohoku.