¿Es importante entender el álgebra lineal geométricamente?

Question

Actualmente estoy estudiando álgebra lineal por mi cuenta, utilizando el texto de Axler. Y siempre me encuentro tratando de imaginar cada teorema y proposición considerando algunos casos de baja dimensionalidad, para poder entender por qué los teoremas tienen sentido. A medida que llego al capítulo de los valores y vectores propios, las cosas se están volviendo un poco abstractas.

Específicamente, demostró que todo operador lineal en un espacio vectorial real de dimensión impar debe tener un valor propio utilizando la inducción, consideró el caso en el que $U$ es un subespacio invariante de dimensión 2 de $V$, estableció $W$ de manera que $U\oplus W=V$. Luego consideró la proyección de $T\vec w$ en $W$ a lo largo de $U$ como un operador en $L(W)$, que debe tener un valor propio $\lambda$ por hipótesis de inducción. Al final, mostró que $T-\lambda I$ no es inyectivo, por lo tanto, $\lambda$ también es un valor propio de $T.

Entiendo todo lo que ha escrito, pero no logré captar el panorama general ya que solo puedo imaginar espacios vectoriales de hasta $3$ dimensiones (en cuyo caso $W$ es de solo una dimensión). La construcción es notable para mí, ya que dos operadores lineales diferentes tienen el mismo valor propio, y no tengo idea de cómo se vería la imagen (por ejemplo, dónde se ubicaría el vector propio) en espacios de dimensiones más altas.

Entonces mi pregunta: ¿Es importante entender el álgebra lineal a través de la imagen? En cierto sentido, siento que me ayuda a entender más por qué algunos teoremas serían verdaderos, pero las pruebas/construcciones no se basan en imágenes en absoluto, ya que principalmente involucran manipulaciones algebraicas.

Answer 1

Todo el conocimiento científico y matemático procede de lo que entendemos directamente como evidente por sí mismo a lo que debe seguir lógicamente a partir de eso. Por lo tanto, es importante entender que ese hecho sobre la naturaleza del conocimiento se aplica a cualquier subcampo de las matemáticas.

Los ejemplos fácilmente percibidos en dimensiones más bajas son un punto de partida importante para comprender la verdad de las proposiciones aplicadas por la lógica a dimensiones más altas.

Los autovectores y autovalores dependen fundamentalmente de los conceptos de $\textbf{dirección}$ y $\textbf{longitud}$ que entendemos por percepción directa en dimensiones más bajas.

Podemos construir ejemplos en dimensiones más bajas de transformaciones lineales y entender directamente por qué dejan las direcciones de ciertos vectores sin cambios, cambiando quizás solo su longitud. Esto es importante para entender la posibilidad, confirmada por la razón, de que el mismo fenómeno pueda existir en dimensiones más altas.