$\int \frac{\sqrt{x}}{x-1}dx $

Question

He querido solucionar $$\int \frac{\sqrt{x}}{x-1}dx \tag{1}$$ a través de la trigonometría hiperbólica de sustitución. Mi trabajo es como sigue:

Deje $\sqrt{x}=\tanh (\theta)$. A continuación, $(1)$ se convierte en $$\int -2\tanh^2(\theta)\ d\theta=-2\theta+2\tanh(\theta) +C.$$ Subbing back in yields $$-2\text{arctanh}\big(\sqrt{x}\big)+2\sqrt{x} +C. $$ Using $$\text{arctanh}(m)=\frac{1}{2}\ln\Big(\frac{1+m}{1-m} \Big) $$ I arrive at the answer $$2\sqrt{x}+\ln\Big(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} \Big) +C. $$ However, the answer key and other integration methods suggest the answer $$ 2\sqrt{x}+\ln\Big(\frac{\sqrt{x}-1}{1+\sqrt{x}} \Big) +C. $$ ¿de Dónde me salen mal?

Answer 1

Según wolfram alpha ambas respuestas parecen de trabajo; que de alguna manera hay que difieren por una constante aditiva.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+de+2sqrt(x)%2Bln((sqrt(x)-1)%2F(1%2Bsqrt(x)))

http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+de+2sqrt(x)%2Bln((1-sqrt(x))%2F(1%2Bsqrt(x)))

En particular, que la constante debe ser $\ln(-1)=i\pi$.

---

En los reales de esta discrepancia podría explicarse por la comprensión de la anti-derivada de una pieza sabio función. Al$\sqrt{x}<1$, se debe utilizar un formulario y al$\sqrt{x}>1$, se debe usar el otro.

Su antiderivada debería ser $$\ln\left| \frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right|$$

si quieres que se mantenga al $0\leq x<1$ e al $x>1$.

Answer 2

Estrictamente hablando, su respuesta es correcta. Si $x>0$,$\ln(-x) = \ln(x)+\pi i$; estos dos están fuera una constante. La diferencia entre las dos respuestas aquí es que lo que hay en el $\ln$ es por un factor de $-1$, y así las dos funciones son fuera una constante.