El grupo $\mathbb{Z}^\mathbb{N}/\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}$ no puede ser incorporado en un producto de $\mathbb{Z}^A$ cualquier $A$

Question

Cómo el título dice que tengo que probar que:

No hay un grupo de monomorphism $\psi: \mathbb{Z}^\mathbb{N}/\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})} \to \mathbb{Z}^A$ cualquier $A$

y, por supuesto, esto es equivalente a probar que no hay ninguna $\psi: \mathbb{Z}^\mathbb{N} \to \mathbb{Z}^A$ tal que $\ker (\psi) = \mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}$.

Para este propósito he intentado poner la topología discreta $\tau_D$ $\mathbb{Z}$ y el producto de la topología $\tau$ $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$ que resultan ser Hausdorff y $\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}$ es densa. Así que sólo hay que poner un Hausdorff la topología en $\mathbb{Z}^A$ para que todos lineal de mapas que $\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})} \subset \ker (\psi)$ son continuas a la conclusión de que la $\psi$ debe ser constante.

He probado con el producto de la topología como el anterior en $\mathbb{Z}^A$, pero estoy atascado demostrando que lineal mapas son continuas.

Por favor, no se echen a perder mi pregunta con una diferente prueba, si es posible, porque esta es mi tarea. Muchas gracias.

---

Vengo con un nuevo enfoque, estoy tratando de demostrar que la topología $$\{B \subset \mathbb{Z}^A: \psi^{-1}(B) \text{ is open for } \psi: \mathbb{Z}^\mathbb{N} \to \mathbb{Z}^A \text{ linear such that } \mathbb{Z}^{(\mathbb{N})} \subset \operatorname{ker}(\psi)\}$$ es Hausdorff, me puedes ayudar? Lo siento si estoy siendo demasiado molesto con esto.

Answer 1

Recuerde que una función en topológico, espacio del producto es continua si y sólo si cada uno de sus componentes (es decir, sus composiciones con los mapas de proyección f el producto de los factores) es continua. Así que para probar que todos los homomorphisms $\mathbb Z^{\mathbb N}\to\mathbb Z^A$ son continuos, sería suficiente para probar este para homomorphisms $\mathbb Z^{\mathbb N}\to\mathbb Z$. La buena noticia es que esta continuidad resultado es verdadero; la mala noticia es que es un trivial teorema de Specker. Específicamente, para cada homomorphism $h:\mathbb Z^{\mathbb N}\to\mathbb Z$, hay un número finito de $n$ tal que $h(x_1,x_2,\dots)$ sólo depende de la primera $n$ componentes $x_1,\dots,x_n$ de la $(x_1,x_2,\dots)\in\mathbb Z^{\mathbb N}$. Pruebas de esto se puede encontrar en los libros de texto en abelian grupos, por ejemplo Fuchs "Infinito Abelian Grupos" o Eklof y Mekler "Casi Libre de los Módulos", pero, como he dicho, no es trivial y, probablemente, no lo que fue la intención de la persona que la asignación de esta tarea.

Si usted está dispuesto a desviarse del enfoque topológico, sugiero que muestra que $\mathbb Z^{\mathbb N}/\mathbb Z^{(\mathbb N)}$ tiene un no-trivial divisible subgrupo, y que un subgrupo no puede tener un monomorphism en $\mathbb Z^A$.