Geodesics que la pintura de curvas en el espacio proyectivo paquete

Question

Deje $M$ ser un geodesically completa conectado de riemann colector.

Deje $p \in M$ ser un punto y $c: \mathbb{R} \to M$ a un arbitrario geodésica que no se cruzan p. Nuestro objetivo es encontrar un "buen" mapa de puntos de envío en la curva de $c$ a de la tangente a las líneas en $p$.

Elegir un punto de $q$ en la curva de $c$ y conectarlo con $p$ a través de una geodésica de la curva (esto es posible por la integridad de la $M$). Aquí está el respectivo imagen:

Cada una de estas geodésica corresponde a una única línea tangente a través de $p$. Idealmente queremos tener un cannonical elección de tales geodésica para cada punto de $c$. Suponiendo que hay una opción que se puede obtener una función de $f: c(\mathbb{R}) \to \mathbb{P}T_pM$. donde $\mathbb{P}T_pM$ es la tangente proyectiva del espacio o, equivalentemente, de la fibra en $p$ de la $(1,dim(M))-$grassman paquete de más de $M$.

Ahora mi pregunta tiene dos partes:

1) Dado un punto inicial $q$ y una elección inicial de la geodésica conectar $p$$q$, es ahí, entonces, un cannonical opción para cada otro punto en $c$? Lo que tengo en mente es una opción que "minimiza" en algunos adecuado sentido de la variación de la geodesics con respecto a la variación del punto inicial $q$. (Yo no estoy tan familiarizado con los campos de jacobi, pero tengo una fuerte sensación de que esto es lo que falta aquí).

2) ¿Bajo qué condiciones en $M$ es el mapa $f$ (definido anteriormente) liso (resp. continua) como una curva en $\mathbb{RP}^{n-1}$ donde $n=dim(M)$. Por que me refiero a la composición de la $f \circ c : \mathbb{R} \to \mathbb{P}T_pM \cong \mathbb{R P}^{n-1}$ es suave (resp. continua).

Aquí está la imagen que me gustaría tener en cuenta en este contexto. Podría estar equivocado, así que mejor tomarlo con una pinta de sal.

Nota: La imagen está lejos de ser literal. $M$ se dibuja como una superficie de la fibra debe ser un proyectiva de la línea, mientras que dibujó un plano proyectivo.

Answer 1

No sé a qué te refieres por "bonita", pero aquí es una construcción. Deje $q=c(0)$. A continuación, $c$ ascensores de los parámetros de línea recta $\tilde {c}$ en el espacio de la tangente $T_qM$, de tal manera que $c(t)=\exp_q(\tilde{c}(t))$. El punto de $p$ ascensores (noncanonically, a menos que $\exp_q$ es un diffeomorphism) a un punto de $\tilde{p}\in T_q(M)$. Ahora, conecte $\tilde{p}$ $\tilde{c}(t)$por segmentos de línea recta en $T_qM$. Estos segmentos de proyecto a la de las curvas de $a(s,t)$ $M$ conectar $p$$c(t)$. Los vectores de velocidad $$ \frac{\partial }{\partial s} (s,t)|_{s=0} $$
definir las líneas en $T_pM$ que están pidiendo y, por lo tanto el mapa de a $PT_pM$.

Tenga en cuenta que las curvas de $a(s,t)$ anteriores no son geodesics (en general). Con el fin de utilizar geodesics tienes que asumir que para el geodesics $\gamma(s,t)$ conectar $p$$c(t)$, los puntos de $p, c(t)$ no conjugado (de lo contrario no se puede realizar un suave selección de $\gamma(s,t)$). Por ejemplo, si se supone que $M$ tiene valor no positivo de curvatura, puede utilizar geodesics $\gamma(s,t)$ para la construcción. La manera correcta de hacerlo es la elevación $c$ a el espacio de la tangente $T_pM$ a través de la exponencial mapa de $\exp_p$ (ya que se trata de una cubierta mapa de Cartan-Hadamard teorema) y, a continuación, utilizar segmentos de línea recta para conectar a través del mismo procedimiento que se describió anteriormente.

Answer 2

No estoy seguro si he entendido todas sus necesidades.En la medida en que es claro para mí, una geodésica campo de flujo del tipo que sugiero es ciertamente posible, en respuesta a la primera parte de su pregunta. El siguiente de Wolfram Alpha de demostración sólo necesita una pequeña modificación para que sea adecuado para su descripción.

Desde el enlace sugerido usted puede elegir uno de tres geodésica de los regímenes de devolución de geodesics comportamiento hiperbólico puntos (puntos de silla, la curvatura de Gauss negativa), con baja $ \alpha $ y alta de la altura inicial.

Un mínimo de dos geodesics posible, infinitamente muchos también por la rotación.

En esta opción geodesics ir a un radio mínimo como por Clairaut de la Ley sobre las superficies de revolución y no puede continuar más allá de la tangencial círculo de no devolución en virtud de invariantes radio mínimo en-construido.Son tangenciales a un círculo de radio $ r \sin \alpha$ después del límite de anillo es tocado antes de regresar.

El patrón puede ser hecho ( por diseño) para volver, o ir hasta el infinito en el otro lado de la superficie que puede ser abierto/cerrado. CNC devanado de filamentos que se realiza en embarcaciones de diseño de peso ligero.

FilamentShell

Las otras dos opciones ( no devolución y el asintótica radio mínimo ) no son adecuados.

El punto de inicio puede ser convertido a la línea ( como una línea a línea del mapa ) o de sus puntos puede ser recogido/aislado.

Puedo preparar para cargar otra imagen a las dimensiones requeridas si el requisito de la segunda parte de su pregunta es más claro con ejemplos apropiados.

HyperboloidGeodesics