¿Por ejemplo es $\log_{\sin(x)}(3x)$ una ecuación ridícula?
No pude encontrar un ejemplo en ninguna página sobre logaritmos que usara una función en una base, pero parece que para una ecuación como $\sin(x)^{12x}$, la base del logaritmo tendría que ser la función seno. ¡Gracias por el consejo!
¿Puede tener un logaritmo una función como base?
¡Por supuesto que no! Pero, entonces de nuevo, $\sin(x)$ ¡no es una "función"! Más bien, es el valor de una función, en este caso, la función seno, evaluada en el punto x. ¡Son dos conceptos diferentes! Relacionados, sin duda, pero diferentes de todas formas.
¿Es $\log_{\sin(x)}(3x)$ una ecuación ridícula?
¡Por supuesto que no! Para que una expresión sea una "ecuación ridícula", primero debe ser una "ecuación". ¡Pero no veo signos de igualdad allí, ¿tú si?
Ahora que he terminado de responder las preguntas que hiciste, permíteme responder la que nunca realmente preguntaste, pero probablemente querías todo el tiempo: Sí, la expresión matemática $\log_{\sin x}(3x)$ $=\dfrac{\log(3x)}{\log\sin x}$ tiene total sentido, asumiendo que x se encuentre dentro de intervalos positivos para los cuales $\sin x$ también sea positivo.
Una versión breve del punto esencial de la respuesta (a la pregunta no formulada): La base de un logaritmo debe ser un número. Para cada $x$, $\sin x$ es un número.
Esos son algunos buenos puntos, sí, eso es lo que quería decir, y gracias por el consejo. Por curiosidad, si no es una función, ¿cómo debería llamarse sin(x)? ¿Se pueden derivar los logaritmos con resultados de funciones como su base usando la estándar $\frac{1}{x\ln(a)}$ o se aplicaría la regla de la cadena ya que es diferenciable?
@user31157 Como ejercicio, intenta calcular la derivada de $log(3x)/log(sin(x))$ y ve si funciona en el caso de ejemplo dado. Estoy un poco oxidado, así que podría haber cometido errores, pero encuentro una respuesta que no se acerca en absoluto a $1/x ln(a)$ ni a lo que obtendrías con la regla de la cadena, porque hay una división en medio. En caso de una base numérica constante, eso no es un problema, pero con una función, debes prestar atención.
Respuesta corta: no.
Añadiría que si alguna vez sientes la necesidad de escribir $\log_{\sin x}(3x)$, simplemente podrías escribir $(\sin x)^y=3x$ y resolver para $y$. Por supuesto, no hay solución para todos los $x$ en este caso. como otro ejemplo, podrías tener algo como $(x^2)^k=x^6$, y claramente $k=3$. en un mundo diferente, podrías escribir esto como $\log_{x^2}x^6=k$, pero esto no es una notación estándar.
También señalaría que los logaritmos fueron inventados como una forma de manejar números grandes. En ese sentido, originalmente eran una cuestión de conveniencia, y realmente no tiene sentido usarlos para algo como $\sin x$ ya que no tenemos problema para escribir funciones regulares.
$(\sin x)^y=3x$ tiene un conjunto de soluciones (trivial) en $x=0$, pero tal vez quisiste decir algo más con "no hay solución..."
Esto tiene sentido, especialmente considerando que los logaritmos deben tener una base positiva para tener sentido sin agregar números complejos, lo cual olvidé hasta que Pedro lo señaló. Por curiosidad: ¿supones que un logaritmo como $log_{x^2}x^6$ derivaría como otros logaritmos, con $\frac{1}{xln(a)}$ o requeriría una regla de la cadena dado que sería diferenciable, o simplemente sería imposible?
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Recuerda que los logaritmos deben tomarse con respecto a bases positivas.
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Eso es cierto, de lo contrario la respuesta es un número complejo, ¿verdad? ¿Funcionaría una función que debe ser positiva y !== 1, por ejemplo $log_{x^2 + 2}(3x)$?