Sí parece que hay algunos errores tipográficos. Por ejemplo, si $n \geq m$,$\frac{1}{m} \geq \frac{1}{n}$, por lo que su fracción es negativa. Esto es malo, ya que se supone que debe ser igual al valor absoluto de algo! La siguiente desigualdad también parece sospechoso, ya que si esto fuera cierto, tendríamos $$\frac{1}{m} - \frac{1}{n} \leq \bigg(\frac{1}{n} + \frac{1}{m}\bigg)\bigg(\sqrt{\frac{1}{n}} + \sqrt{\frac{1}{m}}\bigg).$$ If we let $n \rightarrow \infty$, this will end up being $$\frac{1}{m} \leq \frac{1}{m\sqrt{m}}.$$ So $\sqrt{m} \leq 1$, que no se sostienen.
Pero su idea funciona bien. Intente esto: usted sabe que $t^2 + \frac{1}{n}$ converge uniformemente a $t^2$. Usted también sabe que $\sqrt{x}$ es uniformemente continua en los intervalos de $[0,A]$. Tal vez el uso de estos para mostrar que $\sqrt{t^2 + \frac{1}{n}}$ converge uniformemente a $\sqrt{t^2} = |t|$? A continuación, usted ni siquiera tiene que molestarse muestra es de Cauchy, ya que todas las secuencias convergentes son automáticamente Cauchy!
Aquí está mi ejemplo: supongamos $g_n$ ser la secuencia de funciones definidas por $$g_n(x) = \begin{cases} 0 &\mbox{ if } -1 \leq x \leq \frac{-1}{n} \\
\frac{n}{2}x + \frac{1}{2} &\mbox{ if } \frac{-1}{n} \leq x \leq \frac{1}{n} \\
1 &\mbox{ if } \frac{1}{n} \leq x \leq 1 \end{casos}.$$
Si lo he hecho bien, esto debe ser una función definida a tramos definidos por quedarse en cero hasta llegar a $\frac{-1}{n}$, pasando linealmente hasta 1 hasta llegar a $\frac{1}{n}$, y a continuación, permanecer en la 1. Estas funciones son continuas, y por lo $$f_n(x) = \int_{-1}^x g_n(t) dt$$ son todos diferenciable.
Sin embargo, el límite de la $g_n$s'es la función de paso de $g = \chi_{[0,1]}$, cuya integral $$f(x) = \int_{-1}^x g(t) dt$$ is not differentiable. But $$\|f_n - f\| \rightarrow 0.$$ So $f_n$ converges in the $C^0$ norma y por lo tanto es de Cauchy. La idea es hacer el mal comportamiento "en la planta de abajo" y la integran.
