Integración definida de la raíz cuadrada del polinomio

Question

Necesito aprender cómo encontrar la integral definida de la raíz cuadrada de un polinomio como: $$\sqrt{36x + 1}$$ o $$\sqrt{2x^2 + 3x + 7} $$

EDICIÓN: No se garantiza que sea del mismo formato. Podría ser cualquier polinomio que no pueda ser fácilmente factorizado en cuadrados.

Esto no es tarea, estoy estudiando para un examen final. Y para contextualizar, estoy encontrando la longitud de arco de una función.

Answer 1

Recuerde que para $\alpha \neq -1$, tenemos $$\int (ax+b)^{\alpha}dx = \dfrac1a \cdot \dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + \text{ constante}$$ Una forma de ver lo anterior es la siguiente. Sea $y = ax+b$. Entonces tenemos $dy = adx$. Por lo tanto, para $\alpha \neq -1$, $$\int (ax+b)^{\alpha}dx = \int y^{\alpha} \dfrac{dy}a = \dfrac1a \dfrac{y^{\alpha+1}}{\alpha+1} + \text{ constante} = \dfrac1a \dfrac{(ax+b)^{\alpha+1}}{\alpha+1} + \text{ constante}$$ Si $\alpha = -1$, entonces tenemos $$\int \dfrac{dx}{ax+b} = \dfrac{\log(ax+b)}a + \text{ constante}$$

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En general, no hay una forma fácil de obtener $$\int \sqrt{P(x)} dx,$$ si el grado de $P(x)$ es mayor que $2$.

Si $P(x)$ es lineal, es decir, tiene grado $1$, he mencionado arriba cómo proceder.

A continuación veremos cómo proceder si $P(x)$ es cuadrático, es decir, $$P(x) = ax^2 + bx + c = a ((x+b_1)^2 + c_1).$$ $$b_1=\frac{a}{2b}$$ $$c_1=\frac{c}{a}-b_1^2$$

Ahora tenemos lo siguiente $$\sqrt{P(x)} = \sqrt{a} \sqrt{(x+b_1)^2 \pm c_1}$$ lo que nos da que $$\int \sqrt{P(x)} dx = \sqrt{a} \int \sqrt{(x+b_1)^2 + c_1} dx$$ y $$\int \sqrt{(x+b_1)^2 + c_1} dx = \dfrac{(b_1+x)\sqrt{P(x)} + c_1 \log \left(b_1 + x + \sqrt{P(x)}\right)}2 + \text{ constante}$$

Answer 2

$$\int {\sqrt{36x+1}}\,dx$$

use this formula

$$\int {\sqrt{x}}\,dx=\frac {x^{\frac{3}{2}}}{\frac32}\implies \frac {2x^\frac32}{3}+C$$

so $$\int {\sqrt{36x+1}}\,dx=\frac {2(36x+1)^\frac32}{(3)(36)}$$ $$\frac {(36x+1)^\frac32}{54}+C$$

Q2

$$\int\sqrt{2x^2 + 3x + 7}\,dx $$ $$\int\sqrt{2(x^2 + \frac{3x}{2} + \frac72)}\,dx $$ $$\int\sqrt{2(x^2 + \frac{3x}{2} + \frac72)}\,dx $$ $$\sqrt2\int\sqrt{(x^2 + \frac{3x}{2} + \frac72)}\,dx $$ $$\sqrt2\int\sqrt{(x^2 + \frac{3x}{2} + \frac72+\frac{3^2}{4^2}-\frac{3^2}{4^2})}\,dx $$ $$\sqrt2\int\sqrt{(x^2 + \frac{3x}{2} +\frac{3^2}{4^2}+ \frac72-\frac9{16})}\,dx $$ $$\sqrt2\int\sqrt{(x+ \frac{3}{4})^2 + \frac72-\frac9{16})}\,dx $$ $$\sqrt2\int\sqrt{(x+ \frac{3}{4})^2 + (\frac{\sqrt47}{4})^2}\,dx $$

now use this formula $$\int{\sqrt{x^2+a^2}}\,dx=\frac{x\sqrt{x^2+a^2}}{2}+\frac{a^2\log|x+\sqrt{x^2+a^2}|}{2}+C$$ Espero que ahora puedas resolverlo por ti mismo

Answer 3

Para un polinomio lineal bajo el radical, una $u$-sustitución funcionará. Si deseas resolver este problema para polinomios de orden superior en el caso general entonces estarás recurriendo a mucho álgebra, funciones hiperbólicas trigonométricas y integrales elípticas (que son similares en el sentido de que son problemas de longitud de arco). En resumen, no hay un atajo fácil para resolver este problema para polinomios de grado arbitrario.

Para polinomios de grado uno, haz lo que han aconsejado las otras respuestas. Para polinomios de grado dos, como $\sqrt{2x^{2}+3x+7}$, deberías emplear sustituciones trigonométricas.

Paso 1: Dado $\int\sqrt{ax^{2}+bx+c}$ primero completa el cuadrado en algo de la forma $k\int\sqrt{\pm u^{2}\pm l}$.

Paso 2: Usa una de las tres sustituciones de este artículo sobre el tema para llevar la integral a la forma de $k\int\sqrt{f(x)^{2}}$ para alguna función trigonométrica $f(x).

Paso 3: Elimina el radical y resuelve usando integrales conocidas.

Si deseas aventurarte a resolver cúbicas (o polinomios de grado superior) en el caso general (es decir, no reducibles por una sustitución) entonces lee sobre integrales elípticas.

Answer 4

Usando la sustitución de $u = 36x + 1$, tenemos que $du = 36dx$. Entonces, se sigue que:

$$\int_{a}^{b} \sqrt{36x+1}dx = \frac{1}{36}\int_{36a+1}^{36b+1}u^{\frac{1}{2}}du = \frac{1}{36}*\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|^{36b+1}_{36a+1} = \frac{1}{54}(36x+1)^{\frac{3}{2}}|^{b}_{a}$$