En la categoría de teoría: ¿Qué es un fibration y por qué debería preocuparme por ellos?

Question

Me topé con el "fibration de puntos" en la definición de un protomodular categoría y, al parecer, de hecho esta es una instancia de una fibration.

¿Cuáles son fibrations intuición-sabio y cómo son importantes?

Me gustaría tener una respuesta, que puede ser comprendido por un estudiante, que sabe un poco de la categoría de la teoría (pero casi ninguna de categoría superior a la teoría de la topología o), si eso es del todo posible.

Answer 1

Contexto: Esta respuesta se analiza el punto de vista de la lógica categórica en fibrations, no el de la topología.

Resumen: En categorías de la lógica, de una fibration formaliza la idea de proposiciones lógicas diferentes con los contextos en los que se definen: Si $p: E\to B$ es un (Cartesiano) fibration, la categoría de base $B$ se considera como una categoría de contextos, y para cualquier contexto,$b\in B$, la fibra $X_b$ $p$ $b$ es considerado como la categoría de proposiciones, en el contexto de $b$ (con morfismos de ser pruebas, potencialmente, todos identificados a minimizará la categoría a un conjunto preordenado).

Echemos un vistazo a este principio en el más conocido ejemplo de primer orden de la lī ogica.

Ejemplo: En la lī ogica de primer orden, se tiene un conjunto de clases, conjuntos de constantes y símbolos de función, y un conjunto de relación de los símbolos. De la clase, usted puede formar a los contextos en los que formular primer fin de proposiciones: un contexto es una secuencia finita de 'libre de las variables, cada una de las cuales tiene algún tipo fijo. Dado un conjunto de variables libres, usted puede crear fórmulas utilizando la constante, función y relación con los símbolos, además de los habituales conectivas y cuantificadores.

Si usted es como este, esto suena como una gran masa, pero lo que realmente está pasando puede ser diseccionado en tres claramente separados piezas de cada uno de los cuales tiene una simple descripción categórica: Contexto, la Lógica, y los Cuantificadores:

1. Contextos: Cuando precisamente la definición de fórmulas de la lī ogica, por lo general se inicia con la noción de término: Un término en un contexto de variables libres es un bien escrita, expresión construida a partir de la función constante y de símbolos. Por ejemplo, si consideramos la firma de la teoría de grupos con un solo tipo $\ast$ para el resumen del grupo, a continuación, $(x\cdot e)\cdot y$ sería un término en el contexto de $(x,y)\in\ast\times\ast$.

   Con su categórica de fondo, te darás cuenta de que estas nociones de contexto y condiciones constituyen la categoría libre con finito de productos a través de un conjunto dado de objetos y morfismos. Llamarlo ${\mathbb C}$.

   Tanto para el contextuales parte - ninguna lógica hasta aquí!

2. Lógica: Dado que la noción de términos, fórmulas puede ser definido como construido a partir de los conectivos lógicos y cuantificadores sobre la base de la relacionales de símbolos en cuyos términos se han conectado.

   Olvidándose de los términos y cuantificadores, por un segundo, a través de algunas contexto de $\Gamma=(S_1, ..., S_n)\in{\mathbb C}$ esta en particular, incluye proposicional, la lógica de la habitual de las conectivas, utilizando la relación de los símbolos de la firma $\Gamma$ como sus atomics - de nuevo, no hay términos o cuantificadores aquí.

   Así, en este punto, usted tiene su base categoría $\mathbb C$ de contextos, y para cualquier contexto,$\Gamma$, usted tiene el álgebra Booleana ${\mathbb P}_\Gamma$ de proposiciones sobre la relación de coincidencia de símbolos.

   Cómo hacer proposiciones incluyendo la no-trivial términos entrar en esta imagen? Ellos surgen de forma natural a partir de la idea de que si usted tiene alguna proposición $P$ en un contexto de $\Gamma$ y un morfismos de contextos $f: \Gamma^{\prime}\to\Gamma$, usted debería ser capaz de formar una nueva propuesta en el contexto de $\Gamma^{\prime}$ sustituyendo $f$ a $P$. Así pues, usted desea conectar el álgebra de boole de las proposiciones ${\mathbb P}_\Gamma$ $\Gamma$ a el álgebra Booleana de la proposición ${\mathbb P}_{\Gamma^{\prime}}$ $\Gamma^{\prime}$ a través de una sustitución de morfismos, llame a $f^{\ast}: {\mathbb P}_{\Gamma}\to {\mathbb P}_{\Gamma^{\prime}}$.

   Con esto en la mano, usted puede incluso definir la noción de morfismos entre las proposiciones a través de diferentes contextos: Si $P\in {\mathbb P}_{\Gamma^{\prime}}$$Q\in {\mathbb P}_{\Gamma}$, una de morfismos $P\to Q$ es una sustitución de los contextos $f: \Gamma^{\prime}\to \Gamma$ tal que $P\Rightarrow f^{\ast}Q$ en el álgebra de boole ${\mathbb P}_{\Gamma^{\prime}}$. En particular, cualquier morfismos ha subyacente a la sustitución de morfismos de contextos, de modo que si hacemos la unión de todos los ${\mathbb P}_{\Gamma}$ en categoría $\mathbb P$ por medio de el se acaba de describir morfismos, tenemos un functor ${\mathbb P}\to {\mathbb C}$.

   Vamos a analizar lo que hemos construido aquí: Un functor $p: {\mathbb B}\to {\mathbb C}$ con las siguientes propiedades:

   • Las clases, funciones y relaciones con el rendimiento de objetos resp. morfismos en ${\mathbb C}$.
   • Las fibras de $p$ son álgebras Booleanas, y cualquier relación símbolo $r$ $\Gamma$ de los rendimientos de un elemento de ${\mathbb B}_\Gamma$.
   • $p$ es un Cartesiano fibration.

   Llamar a esto un fibration para la lógica proposicional, lo que hemos construido es el inicial .

3. Cuantificadores: por último, ¿cómo cuantificadores entrar en la foto?

   Independientemente de si es $\exists$ o $\forall$, un cuantificador transforma declaraciones de $P\in {\mathbb P}_\Gamma$ en algunas contexto de $\Gamma=(S_0,S_1,...,S_n)$ en las declaraciones sobre el más pequeño contexto de $\partial\Gamma := (S_1,...,S_n)$, es decir, constituyen morfismos/functors $\exists_{S_0},\forall_{S_0}: {\mathbb P}_{\Gamma}\to {\mathbb P}_{\partial\Gamma}$. Por otro lado, tenemos la proyección de morfismos $\pi: \Gamma\to\partial\Gamma$, y se asocia a la sustitución de morfismos $\pi^{\ast}: {\mathbb P}_{\partial\Gamma}\to {\mathbb P}_{\Gamma}$ formalmente la introducción de una nueva variable libre de sort $S_0$ que, sin embargo, no pertenecen al mundo de la fórmula.

   ¿Cómo se relacionan? Un momento de reflexión revelará que son categóricamente adjunto: La implicación $(\exists_{S_0} P)\Rightarrow Q$ $\partial\Gamma$ es equivalente a la implicación $P\Rightarrow\pi^{\ast}Q$ $\Gamma$ (generalmente el $\pi^{\ast}$ es suprimida); de manera similar $Q\Rightarrow (\forall_{S_0} P)$ $\partial\Gamma$ es equivalente a $\pi^{\ast} Q\Rightarrow P$$\Gamma$.

   Por lo tanto, a partir de la categoría de punto de vista, la adición de cuantificadores significa que requieren/forzar la presencia de la izquierda y la derecha adjoints a la retirada de functors. Para el cuantificador existencial, por ejemplo, esto significa que $p: {\mathbb P}\to {\mathbb C}$ es no sólo Cartesiano, sino también coCartesian.

   Al final, la lī ogica de primer orden de los rendimientos de la inicial Cartesiano fibration con la izquierda y a la derecha adjoints sobre el conjunto de contextos, funciones y relaciones.

Que tengo más de lo previsto, pero el remate es simple: la Lógica de los sistemas dan lugar a la inicial categórica fibrations, en qué contextos se reflejan en la base, el núcleo de la lógica se refleja en las fibras, y los cuantificadores se refleja en la presencia de adjoints.

Con esto en mente, usted puede comenzar a pensar en fibrations procedentes de otros campos, por ejemplo, la geometría, de una manera lógica, y tal vez ganar algo mejor comprensión intuitiva para ellos. Por ejemplo, usted podría encontrar la similitud de cómo la lógica de la equivalencia de $(\exists_{S} P)\wedge Q\Leftrightarrow \exists_S (P\wedge \pi^{\ast} Q)$ y la proyección de la fórmula $f_!{\mathscr F}\otimes {\mathscr G}\cong f_!({\mathscr F}\otimes f^{\ast}{\mathscr G})$ de la geometría interesante. Ver http://mathoverflow.net/questions/18799/ubiquity-of-the-push-pull-formula

Si te parece interesante, échale un vistazo a Bart de Jacob Categórica de la Lógica y de la Teoría Tipo.

Answer 2

Un ejemplo clásico de un fibration es el codominio fibration en un finitely completa categoría $\mathcal{C}$, es decir, el functor de la flecha categoría $cod:\mathcal{C}^\to \to \mathcal{C}$ con acción sobre los objetos de $(f:c\to d)\mapsto d$ y la acción en morfismos de tomar $\langle g_0:c\to c',g_1:d\to d'\rangle:(f:c\to d)\to(f':c'\to d')$$g_1$. Tenga en cuenta que para cualquier $c\in\mathcal{C}$, la colección de objetos de $f\in\mathcal{C}^\to$ $cod(f)=c$ y morfismos con $cod(\langle g_0,g_1\rangle)=id_c$ formas de un género llamado la fibra de más de $c$); de hecho, la categoría de $(\mathcal{C}\downarrow c)$. Por otra parte, el retroceso a lo largo de una de morfismos $h:d\to c$ $\mathcal{C}$ le permite tomar un objeto de $(\mathcal{C}\downarrow c)$ a uno en $(\mathcal{C}\downarrow d)$, y del mismo modo para morfismos.

Aquí uno quisiera decir que $cod$ es en realidad la codificación de un functor $(\mathcal{C}\downarrow-):\mathcal{C}^{op}\to\mathbf{Cat}$; moralmente, esto es lo que está pasando, pero hay dos problemas que me impiden caer el calificativo de "moralmente". En primer lugar, una composición y la retirada no estrictamente conmutar: $f^*g^*(x)$ generalmente no es idéntica a $(gf)^*(x)$ (aunque son isomorfos), por lo que la propuesta de functor a $\mathbf{Cat}$ no es estrictamente functorial. En segundo lugar, una de morfismos $f$ puede tener muchas pullbacks a lo largo de un determinado morfismos $h$. Así que el "retroceso a lo largo de $h^*$" de la operación que queremos pensar como un functor (una de morfismos en $\mathbf{Cat}$) no es en realidad ni siquiera functorial a menos que seamos capaces de elegir a un particular pullback para cada pullback diagrama.

Sin embargo, podemos decir inteligible cosas sobre codominio fibrations, incluso hablar de "derecho adjoints" para la retirada, como en el caso de localmente Cartesiano categorías cerradas, cuando lo que tenemos derecho medico adjunto no es estrictamente incluso un functor.

¿Por qué he hablado mucho sobre el codominio fibration? Usted probablemente ha estado expuesto a la noción de que se puede pensar de un morfismos $d\to c$ como un resumen de familia indizada por $c$, y la retirada es una nueva indexación de operación (como la operación en la cual, dada una familia de conjuntos de $\{A_i\}_{i\in I}$ y una función de $f:J\to I$, usted puede hacer una nueva familia $\{A_{f(j)}\}_{j\in J}$). El codominio fibration es un buen ejemplo de una situación en la que es fácil para usar la metáfora de indexado de las familias y la indización, mientras que la búsqueda de fácil ejemplos de donde la reindexación de la operación no es tan agradable como el caso de indexado de las familias. Esto es lo que fibrations tienen el propósito de modelo en toda su generalidad, dado un fibration $p:\mathcal{E}\to\mathcal{C}$, podemos pensar de la fibra a través de un objeto de $\mathcal{C}$ como una categoría de estructuras indexados por ese objeto, y se nos da una contravariante "indexar" la operación que se porta bien lo suficiente como para trabajar con él, pero lo suficientemente general que no nos vamos a tirar a la perfección buenos ejemplos como el codominio fibrations. También le dan un lugar para pensar en cosas como $\mathcal{E}$valores de functors en categorías de internos a $\mathcal{C}$, cuando esto podría ser de otra manera difícil incluso una frase.

No voy a entrar en los detalles de exactamente lo que hace un fibration porque la definición es perfectamente disponibles, pero las referencias como Borceux del Manual de Categórico Álgebra, vol 2, o Jacobs son buenos lugares para aprender más.