Los números primos de la forma $x^2+n\cdot y^2$, determinado $n$?

Question

En un intento de conseguir a los apretones con el álgebra para un supuesto intento seguir, yo estaba trabajando a través de un montón de hojas de ejercicios. Una serie de preguntas que me pregunto:

Dado un entero $n$, hay un método general (o una colección de métodos) para indicar que los números primos $p$ son de la forma $p=x^2+n\cdot y^2$? Aquí $x$ $y$ también deben ser números enteros.

Por ejemplo, para $n=2$ estos son precisamente los números primos $p\equiv1,2,3\pmod{8}$. Para $n=5$ (por ejemplo) todos los números primos son congruentes a $1$ o $9$ modulo $20$, pero soy incapaz de demostrar (o adivinar) si todos los números primos $p\equiv1,9\pmod{20}$ son de esta forma. Mis pruebas parece que no puede evitar que los anillos de $\Bbb{Z}[\sqrt{-n}]$, lo cual me hace pensar que esto podría relacionados con el campo de clase de teoría, que creo que está fuera de mi alcance (por ahora). Hay una fácil solución a este problema?

Answer 1

bien, no. si usted escoge un discriminante de la formas cuadráticas binarias, llame a $\Delta,$ y tiene una extraña prime $p$ que no divida a $\Delta,$ finalmente,$(\Delta|p)= 1,$, entonces hay alguna forma de que discriminante que representa el primer. Si el número de clase es mayor que uno, que puede no ser la forma principal. Para encontrar la forma en que funciona, consulte Cómo encontrar una forma cuadrática que representa un primo?

Ejemplo habitual: discriminante $-108.$ Cada prime $p \equiv 1 \pmod 3$ está representado por alguna forma, fuera de $x^2 + 27 y^2,$ $4 x^2 + 2 xy + 7 y^2,$ $4 x^2 - 2 xy + 7 y^2.$ Los dos últimos representan el mismo número, por supuesto, pero de esta manera se consigue que el grupo de clase. ¿Cómo se puede saber? Bien, dado $p \equiv 1 \pmod 3,$ si existe una solución a$u^3 \equiv 2 \pmod p,$, entonces podemos escribir $p = x^2 + 27 y^2.$ Si no, tenemos $p =4 x^2 \pm 2 xy + 7 y^2.$ de Hecho, $31 \equiv 1 \pmod 3,$ y $$ 4^3 = 64 = 62 + 2 \equiv 2 \pmod {31}, $$ from which we know we will be able to find $$ 31 = 4 + 27 = 2^2 + 27 \cdot 1^2 $$

Vamos a ver, los cubos $\pmod 7$ $\pm 1,$ bastante fácil de confirmar con la mano. Dos no es un cubo, $7$ no puede ser escrito como $x^2 + 27 y^2,$, pero se puede escribir como $4x^2 + 2 xy + 7 y^2$ $x=0,y=1.$ Cubos $\pmod {13}$ $1,5,8,12,$ $2,$ y podemos escribir $13$ $4x^2 + 2 xy + 7 y^2$ $x=1,y=1.$ O $4x^2 - 2 xy + 7 y^2$ $x=1,y=-1.$