Cociente de una topológico de Hausdorff grupo por un subgrupo cerrado

Question

Lo siento si esta pregunta está por debajo del nivel de este sitio: he leído que el cociente de una topológico de Hausdorff grupo por un subgrupo cerrado es de nuevo Hausdorff. He pensado en ello, pero parece que no puede averiguar por qué. Es obvio? Un simple sí o no (con la referencia de que es posible) es todo lo que necesito.

Answer 1

De hecho, aún más la declaración sostiene: Si $G$ es un grupo topológico y $H$ es un (resumen) subgrupo, a continuación, $G/H$ es Hausdorff si y solo si $H$ es cerrado (cf Bourbaki, Topología General, III.2.5, la proposición 13). No es difícil de probar.

Answer 2

Edit: por Debajo de ampliar mis crudo original de la respuesta "Sí" como se pide por la comunidad.

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Sí. Deje $G$ ser el grupo y $H$ ser el subgrupo cerrado. El núcleo del cociente mapa de $G \to G/H$ es igual a $\Delta^{-1}(H)$ donde $\Delta : G \times G \to G$ es la función continua $\Delta(x,y)= x- y$. De ahí que el núcleo está cerrado. De acuerdo a esta $G/H$ es de Hausdorff.