Estoy tratando de hacer un problema para mi cálculo avanzado los estudiantes. Yo estaba pensando, si tenemos una función derivable $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f'(q)=0$ todos los $q\in\mathbb{Q}$, podemos decir que el $f$ es constante?
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Respuesta
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La función de $f$ no tiene que ser constante!
Un no-función constante $f$ con las propiedades requeridas se da como Ejercicio 13.J en la A. C. M. van Rooij, W. H. Schikhof, Un Segundo Curso sobre Funciones Reales, basado en un ejemplo, debido a la Y. Katznelson y Karl Stromberg, en todas partes diferenciables, nada monótona, funciones, Amer. De matemáticas. Mensual 81 (1974), 349-354, jstor.
Aquí está una copia de la ejemplo:
Otro ejemplo es que ha sido construido por Dimitrie Pompeiu en el Sur les fonctions dérivées, Matemáticas. Ann. 63 (1907), no. 3, 326-332, doi: 10.1007/BF01449201, eudml, GDZ.
Puedes echar un vistazo aquí.
