Notación funcional.

Question

Tengo algunas dudas sobre la notación de las funciones:

Primero Si presento una función escribo: $f(x)$

Si escribo es a la inversa: $f^{-1}(x)$

Entonces, ¿por qué no $f(f(x))=f^2(x)$

---

Segundo Si $\frac{df(x)}{dx}=f'(x)$ y $\frac{d^2f(x)}{dx^2}=f''(x)$ .

Entonces, ¿cómo se escribe probablemente $\frac{d^nf(x)}{dx^n}=f'(x)$ .

Hace así: $f'''^{\cdots\text{n times}}(x)$ ?

---

Tercero ¿Qué diferencia hay entre $f^n(x),f(x)^n\text{ and }(f(x))^n$

Answer 1

Tengo algunas dudas sobre la notación de las funciones:

Primero Si presento una función escribo: $f(x)$

Si escribo es a la inversa: $f^{-1}(x)$

Entonces, ¿por qué no $f(f(x))=f^2(x)$

Esto es realmente ambiguo.   Por desgracia, $f^n$ se utiliza a veces para referirse a la $n$ -iteración de una función y otras veces se utiliza comúnmente para referirse a la $n$ -en la exponenciación.   La misma notación fue adoptada por diferentes ramas de las matemáticas para significar cosas diferentes y ambas persisten en usarla así.   Así, cuando se ve $f^2$ , hay que comprobar el contexto para determinar si el autor se refería a la composición $f\circ f$ o el producto $f\cdot f$ .

Más confusa es la convención que $f^{-1}$ significa que la inversa iterada de una función se ha convertido en el estándar incluso cuando $f^n$ se utiliza de otro modo para la exponenciación.

Algunos matemáticos adoptan la notación $f^{\circ n}$ para que quede claro que se refieren al $n$ iterar.

Segundo Si $\frac{df(x)}{dx}=f'(x)$ y $\frac{d^2f(x)}{dx^2}=f''(x)$ .

Entonces, ¿cómo se escribe probablemente $\frac{d^nf(x)}{dx^n}=f'(x)$ .

Hace así: $f'''^{\cdots\text{n times}}(x)$ ?

Nunca pasamos de tres primos.   La convención es que $f^{(n)}$ significa que el $n$ -derivada de una función (con respecto a su argumento).

Tercero ¿Qué diferencia hay entre $f^n(x),f(x)^n\text{ and }(f(x))^n$

Claridad.   $f^n(x)$ es ambiguo; puede significar $f\circ f^{n-1}(x)$ o comúnmente $f\cdot f^{n-1}$ .   Es posible que $f(x)^n$ podría analizarse como $f(x^n)$ .   Sin embargo, $(f(x))^n$ es bastante inequívoco, aunque es más grueso.

Answer 2

Depende del contexto y de las convenciones. En tu segunda pregunta, la gente suele escribir $f^{(n)}$ . Para su primera pregunta, algunas personas utilizan $f^2$ como abreviatura de $f \circ f$ pero no es tan común.

Answer 3

Al escribir $f^2(x)$ normalmente se refiere a $f(f(x)$ . En general: $$f^n(x) = \overbrace{f(f(\ldots f}^{n \text{ times}}(x))\ldots)\\f(x)^n=(f(x))^n\text{ is $ f(x) $ raised to the $ n $th power}$$

Sin duda, puede escribir $\dfrac{d^nf(x)}{dx}=f''^\ldots(x)$ . En general, se escribiría $\dfrac{d^nf(x)}{dx}=f^{(n)}(x)$ .

Aunque hay que tener en cuenta que el contexto suele dictar lo que $f^n(x)$ es.

Answer 4

Espero que esto ayude:

$$f^n(x) = f(f^{n-1}(x)) = \underbrace{f(f(f(\cdots f(x))\cdots)}_{n \text{ times}} = \underbrace{(f^\circ f^\circ f^\circ \cdots f)}_{n \text{ times}}(x)$$

$$\frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x)$$

$$(f(x))^n = \underbrace{f(x)·f(x)\ldots f(x)}_{n \text{ times}}$$

Que yo sepa, no existe tal cosa como $f(x)^n$ pero podría significar $(f(x))^n$

Answer 5

Primero: La notación de la función inversa no tiene nada que ver con la exponenciación, por lo tanto $f(f(x))$ no se escribe como $f^2(x)$ . Tenga en cuenta que, a veces, en las calculadoras puede ver $\cos^{-1}{}$ lo que significa $\arccos$ NO $\frac{1}{\cos}$ .

Segundo: Para las derivadas de orden $n \geq 4$ La notación típica es $f^{(n)}(x)$

Tercero: Esto no lo tengo del todo claro, pero para evitar cualquier confusión, yo sólo utilizaría $(f(x))^n$ .