¿Fórmula cuadrática universal?

Question

¿Hay alguna forma de escribir la fórmula cuadrática de manera que funcione para $ac= 0$ sin tener que hacerlo a trozos?

La solución tradicional de $x = (-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}) / 2a$ se rompe cuando $a = 0$ y la solución menos tradicional de $x = 2c / (-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})$ se rompe cuando $c = 0$ ... así que me pregunto si hay una fórmula que funcione para ambos casos.

Mi intento fue hacer la fórmula "simétrica" con respecto a $a$ y $c$ sustituyendo $$x = y \sqrt{c/a}$$ para conseguir $$y^{+1} + y^{-1} = -b/\sqrt{ac} = 2 w$$

cuya solución es

$$y = -w \pm \sqrt{w^2 - 4}$$

que es claramente simétrica con respecto a $a$ y $c$ pero que no parece llevarme a ninguna parte si $ac = 0$ .

(Si esto es imposible, estaría bien que me dieran algún tipo de explicación teórica al respecto en lugar de un simple "esto no es posible").

Answer 1

Creo que siempre tendrás un problema, porque la solución "que falta" para $a=0$ es una solución en el infinito. Se necesitan dos respuestas para la cuadrática, y al reducirla al caso lineal se obtiene una expresión indefinida que representa la raíz que falta.

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Disculpas, tuve que salir antes de completar el detalle, pero aquí hay algún comentario más.

Tomando la fórmula cuadrática convencional con pequeños $a$ y se fijó $b,c$ y examinando los términos de mayor orden, las dos soluciones se convierten en $-\frac {b}a$ y $-\frac cb$ además de las piezas de menor valor.

Así que tenemos una solución grande (el signo depende del signo de $a$ y que es la solución no nula de $ax^2+bx=0$ - cuando $x$ es grande $c$ se vuelve irrelevante) y una solución cercana a la solución de la ecuación lineal $bx+c=0$ - donde $x$ es pequeño, el término cuadrático es despreciable.

Obsérvese que la segunda versión de la solución con $c$ en el numerador tiene una solución que se reduce a la forma $\frac {2c}0$ cuando $a=0$ , por lo que en realidad no recupera nada mejor.

Para reducir una forma que da dos soluciones a la solución única de una ecuación lineal se requiere alguna reducción de dos soluciones a una. Podrían llegar a ser iguales, pero evidentemente eso no va a ocurrir aquí (una cuadrática con soluciones iguales no se parece en nada a una lineal). O podrían desaparecer en una singularidad o espacio indefinido.

Answer 2

Respondiendo a mi propia pregunta, pero me acabo de dar cuenta este algoritmo en Wikipedia funciona si hacemos un poco de trampa y no consideramos $\operatorname{sgn}(x) = |x| \div x$ una función "a trozos":

$${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b-\operatorname{sgn}(b)\,{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\\x_{2}&={\frac {2c}{-b-\operatorname{sgn}(b)\,{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\end{aligned}}$$

Answer 3

$x=(−b±\sqrt{b^2−4ac})/2a ...(1)$

Toma límite $a \rightarrow 0,$ aplique la regla de L'Hospital y debería obtener

$x = -c/b$ (solución de $bx + c = 0$ ) y otra solución del infinito (despreciando ya que no está definida).

No debería haber ningún problema en la ecuación (1) para el caso de $c = 0$ .

Para encontrar una fórmula simétrica para $ac$ , ambos $a$ y $c$ deben tener igual importancia en la ecuación cuadrática lo cual no es el caso, por eso no es posible.