Dada una lista de enteros positivos $1$, $2$, $3$, $4$, $...$, tomar los tres primeros números $1$, $2$, $3$ y su suma $6$ y la cruz de los cuatro números de la lista. Repita el procedimiento con el más pequeño de los tres números restantes $4$, $5$, $7$ y su suma $16$. Continuar de esta manera, tachando el más pequeño de los tres números restantes y su suma y considerar la secuencia de las cantidades producidas: $6$, $16$, $27$, $36$, $\dots$. ¿Hay algún número en esta secuencia cuya base $10$ representación termina con $2015$?
Respuesta
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user90997
Puntos
1
Mirando las sumas, la secuencia muestra un período de $\pmod{90}$. En particular, la serie se repite el ciclo de $6,16,27,37,46,57,66,75,87 \pmod{90}$, en ocasiones mostrando el $45$ o $47$ en lugar de $46 \pmod{90}$ (la primera de estas excepciones se produce en $227$). A partir de esto, podemos conseguir directamente que la gran mayoría de los números en la secuencia de sumas final con $6$ o $7$, y que la menor proporción de los números que terminan con $5$ es principalmente determinado por los números que están a $\equiv 75\pmod{90}$. También tenga en cuenta que todos los números que se $\equiv 75\pmod{90}$ está contenida en la secuencia. Por lo tanto, podemos concluir que cualquier número terminado con los dígitos $2015$ es necesariamente parte de la secuencia si es $\equiv 75\pmod{90}$. No es difícil mostrar que el primer número de este tipo es $42015$.
Curiosamente, $12015$ es parte de la secuencia, ya que corresponde a una excepción del tipo $45\pmod{90}$.
