Si me dan dos cuantiles $(q_1,q_2)$ y sus correspondientes ubicaciones $(l_1,l_2)$ (cada uno) en el intervalo abierto $(0,1)$, puedo encontrar siempre los parámetros de una distribución beta que tiene los cuantiles en los lugares especificados?
Respuesta
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jldugger
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La respuesta es sí, siempre que los datos de satisfacer obvio requisitos de coherencia. El argumento es sencillo, basado en una construcción simple, pero requiere de algunos ajustes. Es un hecho obvio: un aumento en el parámetro de $a$ en una Beta$(a,b)$ distribución aumenta el valor de su densidad (PDF) más grandes de $x$ menor $x$; y el aumento de la $b$ hace lo contrario: la más pequeña de $x$, más el valor de la PDF aumenta.
Siga los detalles.
Deje que el deseado $q_1$ cuantil ser $x_1$ y el $q_2$ cuantil ser$x_2$$1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$, y (por tanto) $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$. A continuación, no son exclusivos de $a$ $b$ para que la Beta$(a,b)$ tiene una distribución de estos cuantiles.
La dificultad con la demostración de esto es que la distribución Beta implica un recalcitrante de la normalización de la constante. Recordemos la definición: para$a\gt 0$$b \gt 0$, la Beta$(a,b)$ distribución tiene una función de densidad (PDF)
$$f(x;a,b) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}.$$
La normalización de la constante es la función Beta
$$B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,\mathrm{d}x = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$
Todo se vuelve desordenado si tratamos de diferenciar $f(x;a,b)$ directamente con el respeto a$a$$b$, que sería la fuerza bruta manera para intentar una demostración.
Una forma de evitar tener que analizar la función Beta, se nota que cuantiles son relativos áreas. Es decir,
$$q_i = F(x_i;a,b)=\frac{\int_0^{x_i} f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}$$
para $i=1,2$. Aquí, por ejemplo, son el PDF y la función de distribución acumulativa (CDF) $F$ de una Beta$(1.15, 0.57)$ distribución para que $x_1=1/3$$q_1=1/6$.
La función de densidad de $x\to f(x;a,b)$ se representa a la izquierda. $q_1$ es el área bajo la curva a la izquierda de $x_1$, se muestra en rojo, relativa a que el área total bajo la curva. $q_2$ es el área a la izquierda de $x_2$, igual a la suma de los colores rojo y azul de las regiones, de nuevo en relación a la superficie total. La CDF de la derecha muestra cómo las $(x_1,q_1)$ $(x_2,q_2)$ marca dos puntos distintos.
En esta figura, $(x_1,q_1)$ se fija en $(1/3,1/6)$, $a$ fue seleccionado para ser $1.15$, y un valor de $b$ se encontró que $(x_1,q_1)$ se encuentra en la Beta$(a,b)$ CDF.
Lema: Esto siempre se puede hacer.
Para ser más específicos, deje $(x_1, q_1)$ ser fijado de una vez por todas. (Permanecen de la misma en las ilustraciones que siguen: en los tres casos, el área relativa a la izquierda de $x_1$ es igual a $q_1$.) Para cualquier $a\gt 0$, El lema de reclamaciones no hay un único valor de $b$, escrito $b(a)$, por lo que $x_1$ $q_1$ cuantil de la Beta$(a,b(a))$ distribución.
Para ver por qué, tenga en cuenta primero que como $b$ se aproxima a cero, todos la probabilidad se acumula cerca de los valores de $0$, de donde $F(x_1;a,b)$ enfoques $1$. Como $b$ enfoques infinito, todos la probabilidad se acumula cerca de los valores de $1$, de donde $F(x_1;a,b)$ enfoques $0$. La función de $b\to F(x_1;a,b)$ es estrictamente creciente en a $b$.
Esta afirmación es geométricamente obvio: lo que equivale a decir que si nos fijamos en el área a la izquierda, debajo de la curva de $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ relación al total del área bajo la curva y lo compara con la relación del área bajo la curva de $x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$$b^\prime \gt b$, la última área es relativamente más grande. La relación de estas dos funciones es $(1-x)^{b^\prime-b}$. Esta es una función igual a $1$ al $x=0$, cayendo sostenidamente a $0$ al $x=1$. Por lo tanto, las alturas de la función $x\to f(x;a,b^\prime)$ son relativamente más grandes que las alturas de $x\to f(x;a,b)$ $x$ a la izquierda de $x_1$ que son para la $x$ a la derecha de $x_1$. En consecuencia, el área a la izquierda de $x_1$ en la primera debe ser relativamente más grande que el área a la derecha de $x_1$. (Esto es fácil de traducir en un riguroso argumento mediante una suma de Riemann, por ejemplo).
Hemos visto que la función de $b\to f(x_1;a,b)$ es estrictamente monótona creciente con la limitación de los valores en$0$$1$$b\to 0$$b\to\infty$, respectivamente. Es también (claramente) continuo. En consecuencia, existe un número $b(a)$ donde $f(x_1;a,b(a))=q_1$ y que el número es único, lo que demuestra el lema.
El mismo argumento muestra que como $b$ aumenta, el área a la izquierda de $x_2$ aumenta. En consecuencia, los valores de $f(x_2;a, b(a))$ gama de más de un intervalo de números como $a$ progresa de casi $0$ a $\infty$. El límite de$f(x_2;a,b(a))$$a\to 0$$q_1$. Este es un ejemplo donde $a$ está cerca de a $0$ (que es igual a $0.1$). Con $x_1=1/3$ $q_1=1/6$ (como en la figura anterior), $b(a) \approx 0.02$. No hay casi ningún área entre el$x_1$$x_2$:
El CDF es prácticamente plana entre el$x_1$$x_2$, de donde $q_2$ es prácticamente en la parte superior de $q_1$. En el límite cuando $a\to 0$, $q_2 \to q_1$.
En el otro extremo, lo suficientemente grandes valores de $a$ conducir a $F(x_2;a,b(a))$ arbitrariamente cerca de $1$. Aquí está un ejemplo con $(x_1,q_1)$ como antes.
Aquí $a=8$ $b(a)$ casi $10$. Ahora $F(x_2;a,b(a))$ es esencialmente $1$: casi no hay área de la derecha de $x_2$.
En consecuencia, usted puede seleccionar cualquier $q_2$ $q_1$ $1$ y ajustar a $a$ hasta $F(x_2;a,a(b))=q_2$. Al igual que antes, esta $a$ debe ser único, QED.
