La prueba de que ${2p\choose p}\equiv 2\pmod p$

Question

Tratando de probar que ${2p\choose p}\equiv 2\pmod p$, yo vi un par de métodos exitosos, muchos de los cuales parecía bastante complicado o invocado oscuro teoremas (al menos desde el punto de vista de alguien con mis limitados conocimientos). Ya que soy bastante nuevo con la teoría de los números, yo estaría muy agradecido si alguien me pudiera decir si un método que se me ocurrió con las obras, o, si no, de dónde sale mal. Mi idea es que mediante la ampliación y la reducción de la ${2p\choose p}$, obtenemos $$2\prod\limits_{i=1}^{p-1} \frac{2p-i}{p-i} \equiv 2\prod\limits_{i=1}^{p-1} 1 \equiv 2 \pmod {p}$$ because $2p-i \equiv p-i \pmod{p}$.

Es esto válido? Sé división de$\pmod{p}$ es un poco extraño, sobre todo cuando el denominador es $\equiv 0\pmod{p}$, así que no estoy seguro si todas las declaraciones que he hecho son verdaderas. Déjame saber si tengo que aclarar nada, y gracias de antemano por cualquier ayuda que pueda ofrecer.

P. S. Si hay alguna otra [más precisa] prueba de esta congruencia que no son demasiado complicados, me encantaría verlas.

Answer 1

La manera más fácil: en el carácter $p$, tenemos

$$(x+y)^{2p} = (x^p+y^p)^2= x^{2p} + 2x^py^p + y^{2p}.$$

Por lo tanto ${2p \choose p} \equiv 2 \mod p$.

Answer 2

Por cierto, he escuchado acerca de esto hoy. Más se puede decir, en el hecho de $p^2\mid \binom{2p}p-2$. Consideremos el conjunto a $A=\{x,y\}\times \Bbb Z_p$, y la colección de $\mathcal C$ de los subconjuntos de a $A$ de cardinalidad $p$, lo que usted puede pensar acerca de las tablas de tamaño de $2\times p$ con las entradas en $\Bbb Z_p$ tal que exactamente $p$ se comprueban las entradas y $p$ no lo son, donde se compruebe la entrada de $(x,n)$ si $(x,n)\in S\subseteq A$.

Podemos hacer $\Bbb Z_p\times \Bbb Z_p$ actúan en el conjunto $A$ como sigue: si $(a,b)\in\Bbb Z$, nos cíclicamente permutar la primera fila por $a$ lugares y la segunda fila por $b$ lugares. Concretamente, si $S$ es una colección de $p$ tuplas de la forma $(x,n),(y,m)$ $(a,b)S=$ es el conjunto de tuplas de la forma $(x,n+a),(y,m+b)$. Se puede ver que si $C\in \mathcal C$ no es la junta obtenidos mediante la comprobación de todos en la primera fila y no hay nada en el pasado, o la comprobación de todos los de la segunda fila y no hay nada en el pasado, ${\rm stab}\, a=1$. Por lo tanto, si queremos eliminar estos dos elementos de la $\mathcal C$, que tiene cardinalidad $\binom{2p}p$, obtenemos un conjunto de tamaño $\binom {2p}p-2$ que por la órbita-estabilizador teorema se divide en grupos de tamaño $p^2=|\Bbb Z_p\times \Bbb Z_p|$, lo que demuestra la demanda.

Answer 3

Otro "camino fácil" por Lucas teorema:

$${2p \choose p} \equiv {2 \choose 1} \equiv 2 \pmod p$$

Voy a elaborar, ya que indican que usted es nuevo en la teoría de números. Lucas teorema dice lo siguiente: Vamos a $m$ $n$ ser números expresados en base $p$, y deje $m_i$ $n_i$ corresponden a los dígitos en el $i$th lugar de $m$$n$, respectivamente. A continuación, ${m \choose n} = \displaystyle \prod_i^n {m_i \choose n_i} \pmod p$

En este caso, en base $p$, $2p = 20_p$ y $p = 10_p$. Por lo tanto,

$${2p \choose p} \equiv {2 \choose 1}{0 \choose 0} \equiv 2 \pmod p$$