¿Cómo puedo reescribir la función recursiva como fórmula única?

Question

Existe la siguiente función recursiva

$$ \begin{equation} a_n= \begin{cases} -1, & \text{if}\ n = 0 \\ 1, & \text{if}\ n = 1\\ 10a_{n-1}-21a_{n-2}, & \text{if}\ n \geq 2 \end{cases} \end{equation} $$

Sé que esto se puede reescribir como $$ a_n=7^n-2\cdot3^n $$

Pero, ¿cómo puedo llegar a esa afirmación? Encontré este problema en algún sitio web en particular. Mis habilidades no son suficientes para resolver estas cosas. Alguien me dijo que tengo que leer sobre Función generadora pero no me ayudó.

Agradecería que alguien me lo explicara.

Answer 1

La forma de hacerlo sin generar funciones es comenzar con el ansatz de que $$ a_n = x^n $$ satisface la recursión pero posiblemente no los puntos de partida en $n=0$ y $1$ .
Si tenemos esa solución entonces cualquier $a_nkx^n$ también satisface la recursión.

Y si tenemos dos soluciones de este tipo $x^n$ y $y^n$ entonces cualquier combinación lineal $a_n=kx^n+my^n$ satisfará la recursión, y podemos ajustar $k,m$ para ajustarse a los puntos de partida.

Bueno, si $a_n = x^n$ entonces $$ x^n = 10 x^{n-1} - 21x^{n-2} \\ x^2 = 10 x -21 \\ x = 7 \mbox{ or } x=3 $$
Así que la solución general de la recursión es $$ a_n = k\cdot 7^n + m \cdot 3^n $$

Ahora, conecte $n=0$ y $n=1$ para satisfacer los puntos de partida: $$ k \cdot 7^0 + m \cdot 3^0 = -1 \\ k \cdot 7^1 + m \cdot 3^1 = +1 $$

que da $$ k = 1 \\m = -2$$ por lo que la solución particular es $$ a_n = 7^n -2\cdot 3^n $$

Answer 2

Esto se llama relación de recurrencia lineal homogénea . Si observamos el caso recursivo, encontramos que el coeficiente de $a_{n-1}$ es $10$ y el coeficiente de $a_{n-2}$ es $-21$ . Esto significa que el "polinomio característico", que es básicamente el polinomio que nos dice cuáles serán las bases de la fórmula explícita, es así: $$x^2-10x+21$$ Fíjate en que hemos hecho el coeficiente principal $1$ y luego tomó el coeficiente negativo de $a_{n-1}$ y luego tomó el negativo del coeficiente de la $a_{n-2}$ . Este proceso es la forma de encontrar el polinomio característico.

Ahora, si factorizamos el polinomio: $$x^2-10x+21=(x-3)(x-7)$$ Encontramos que las raíces son $3$ y $7$ . Esto significa que la fórmula debe tener la siguiente forma: $$a_n=A\cdot 3^n+B \cdot 7^n$$ Ahora, sabemos que esto es cierto para $n=0$ y $n=1$ por lo que encontramos que: $$n=0 \implies A\cdot 3^0+B\cdot 7^0=A+B=-1$$ $$n=1 \implies A\cdot 3^1+B\cdot 7^1=3A+7B=1$$ Ahora, tenemos un sistema de ecuaciones lineales. Si resolvemos este sistema, obtenemos $A=-2$ y $B=1$ por lo que obtenemos: $$a_n=-2\cdot 3^n+7^n$$

Answer 3

Se trata de una relación de recurrencia lineal homogénea con coeficientes constantes. En $$ a_n = 10 a_{n-1} -21 a_{n-2} $$ se puede deducir el orden $d=2$ y el polinomio característico: $$ p(t) = t^2 - 10 t + 21 $$ Calcular las raíces: $$ 0 = p(t) = (t - 5)^2 - 25 + 21 \iff t = 5 \pm 2 $$ esto da la solución general $$ a_n = k_1 3^n + k_2 7^n $$ Las dos constantes deben determinarse a partir de dos condiciones iniciales: $$ -1 = a_0 = k_1 + k_2 \\ 1 = a_1 = 3 k_1 + 7 k_2 $$ Esto lleva a $4 = 4 k_2$ o $k_2 = 1$ y por lo tanto $k_1 = -2$ . Así que obtenemos $$ a_n = -2 \cdot 3^n + 7^n $$