Un coeficiente binomial de identidad?

Question

Supongamos que $p$, $k$ y $s$ son enteros con $s,k \le p$. Considere el siguiente polinomio en $x$$y$, $$ \sum_{\ell=0}^k \binom{s}{\ell} \binom{p-s}{k-\ell} x^\ell y^{p-\ell}$$ No esta expresión resultará familiar a cualquiera? Hay forma cerrada?

Answer 1

Es la suma de $pth$ grado homogéneo en términos de $y^{p-k}(1 +x)^s(1+y)^{p-s}$

Answer 2

Podemos transformar

$$\sum_{\ell=0}^k \binom{s}{\ell} \binom{p-s}{k-\ell} x^\ell y^{p-\ell}$$

en hipergeométrica formulario de la siguiente manera: nos factor $y^p$ como

$$y^p\sum_{\ell=0}^k \binom{s}{\ell} \binom{p-s}{k-\ell} \left(\frac{x}{y}\right)^\ell$$

y, a continuación, fácilmente se puede transformar en el primer coeficiente binomial a un símbolo de Pochhammer:

$$y^p\sum_{\ell=0}^k \frac{(-1)^\ell (-s)_\ell}{\ell!} \binom{p-s}{k-\ell} \left(\frac{x}{y}\right)^\ell$$

La segunda requiere un poco más de trabajo; el uso de esta identidad, tenemos

$$y^p\binom{p-s}{k}\sum_{\ell=0}^k \frac{(-s)_\ell}{\ell!} (-1)^\ell \frac{(k-\ell+1)_\ell}{(p-s-k+1)_\ell}\left(\frac{x}{y}\right)^\ell$$

y, a continuación, utilizar esta identidad para producir

$$y^p\binom{p-s}{k}\sum_{\ell=0}^k \frac{(-s)_\ell (-k)_\ell}{(p-s-k+1)_\ell} \frac1{\ell!}\left(\frac{x}{y}\right)^\ell$$

a partir de la cual nos encontramos con que tenemos un número finito de ${}_2 F_1$ hipergeométrica suma; más específicamente, hemos

$$y^p\binom{p-s}{k} {}_2 F_1\left({{-k}\atop{}}{{}\atop{p-k-s+1}}{{-s}\atop{}}\mid \frac{x}{y}\right)$$

Con la hipergeométrica expresión o la suma antes de ello, encontramos que la suma ha $\min(k,s)$ términos.

A partir de la hipergeométrica de expresión, además de las transformaciones que podría ser posible. Alternativamente, la propia expresión directa puede ser utilizado para la evaluación numérica, desde funciones hipergeométricas satisfacer tres períodos de recurrencia; comienza con las expresiones correspondientes a $k=0$ $k=1$ y recurse de allí para evaluar numéricamente la expresión de un determinado $k$.