No es una conjetura: "El único subespacio de una normativa espacio vectorial $V$ que tiene un no-vacío interior, es $V$ sí mismo." (aquí, la topología el más evidente es el conjunto de todos los conjuntos generados por la métrica $||\cdot||$).
Tengo una prueba para el caso de $V$ es finito dimensionales. Porque, seamos $V$ tiene dimensión $n$ y un subespacio $S$ $V$ tiene dimensión $m < n$. Deje $\{v_1,v_2,\ldots,v_m\}$ ser una base para $S$, extendido a la base $\{v_1,\ldots,v_m,\ldots,v_n\}$$V$. Ahora, supongamos que el $p = b_1v_1+\cdots+b_mv_m$ es un punto interior de a $S$. Ahora, considere la norma $N(a_1v_1 +\cdots+a_nv_n)=\max(|a_1|,\ldots,|a_n|)$. Entonces, hay un $r>0$, de tal manera que $||x-p||<r$ $x$ está en $V$ $\implies$ $x$ es en $S$, ya que en un número finito de dim. el espacio, todas las normas son equivalentes. Deje $m<k\leq n$,y eligió $v$ $V$ como:
$$v=\left(b_1+\frac{r}{2}\right)v_1+\left(b_2+\frac{r}{2}\right)v_2+\cdots+\left(b_m+\frac{r}{m}\right)v_m+\frac{r}{2}v_k$$ A continuación, $N(v-p)\leq\frac{r}{2}<r$, lo $v$$S$, y en el subespacio de propiedad de $S$, $v_k$ es en $S$, una contradicción a $m<n$.
He principalmente 2 preguntas:
(1) hay un método más sencillo para la prueba de la conjetura para el finito dimensionales caso?
(2) Es la conjetura cierto para el caso de infinitas dimensiones?
Lo siento, si la pregunta admite una muy trivial respuesta. La motivación detrás de mi pregunta , es el hecho de que un intervalo abierto en $\mathbb{R}$ no está abierto en el $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$, etc.
