Cuaterniones grupo de asociatividad

Question

Considere la posibilidad de los ocho objetos de $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$ con la multiplicación de las reglas:

$ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j,i^2=j^2=k^2=-1$,

donde los signos menos se comportan como se esperaba y $1$ $-1$ se multiplican a medida que se esperaba. Muestran que estos objetos forman un grupo que contiene exactamente una involución.

Así, es fácil determinar el cierre de la definición. $1$ es claramente la identidad, y la recíproca también se puede determinar $(i,-i),(j,-j),(k,-k)$, $-1$ con sí mismo, y $1$ con sí mismo. La única involución es $-1$. Hay una forma sencilla de comprobar la asociatividad de este grupo? Hay muchas combinaciones posibles $(ab)c=a(bc)$ a comprobar directamente. ($8^3$ combinaciones posibles)

Answer 1

Una idea que ahorra algo de trabajo, pero todavía podría hacer que los ojos de la cruz es darse cuenta de que los negativos funcionan como se esperaba, por lo que no necesita para poner a prueba la asociatividad con 1, -1, o de cualquiera de los negativos i,j,k. Eso deja sólo $\{i,j,k\}^3$ que es el 27 de pruebas, cada una requiere 4 muy fácil multiplicaciones, 108 fácil las búsquedas. Si usted nota que $i \mapsto j \mapsto k$ es un automorphism, entonces se puede decir que el $a=i$ $a(bc) \stackrel{?}{=} (ab)c$ la reducción de la 9 de cheques, 36 fácil multiplicaciones.

Sin embargo, un método con el que más beneficios marginales es encontrar las matrices que se multiplican a medida que se esperaba. Es más fácil si usted sabe los números complejos, ya que $i$ $j$ son tanto como $\sqrt{-1}$, pero no conmutan.

Espero que usted puede descubrir las matrices por sí mismo, pero tal vez es difícil, sin un montón de experiencia. Aquí están las matrices que trabajan ($\sqrt{-1}$ es fijo raíz cuadrada de $-1$ en un campo de carácter no 2, decir $\mathbb{C}$, por ejemplo, tomar de 1 a ser la matriz identidad, y si $a$ corresponde a la matriz de $A$, $-a$ corresponde a $-A$, por lo que los negativos funcionan como se esperaba).

$$i = \begin{bmatrix} \sqrt{-1} & 0 \\ 0 & -\sqrt{-1} \end{bmatrix}, \qquad j = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad k = \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{-1} \\ \sqrt{-1} & 0 \end{bmatrix}$$