Me pregunto si el nudo de la teoría está relacionada con cualquier otro tema en matemáticas. Yo no he leído mucho sobre ello, pero parece ser que viven aisladas.
También me pregunto si hay algún matemático de fondo que tenemos que lograr para bucear a través de este tema?
Mi última pregunta es: Es el Nudo de la teoría de la utilidad para el puro matemático? Por qué? ¿Por qué no?
El nudo de la teoría es, de hecho, uno de los menos aislado de las áreas de las matemáticas! Permítanme tratar de contar algo de la historia aquí, aunque yo ciertamente no garantizo incluso el nombre de la mayoría de los autores.
En 1984 Jones descubrió un nudo invariante, el polinomio de Jones, en el curso de la investigación de algunas estructuras relacionadas con la teoría de álgebras de von Neumann. El polinomio de Jones admite una simple definición en términos de lo que se denomina "madeja de relación" en el nudo de diagramas, pero también puede ser definido en términos de una interesante representación de la trenza de los grupos que implican una familia de álgebras, la Temperley-Lieb álgebras, que originalmente surgió en algunos problemas en la mecánica estadística.
Hay un superficialmente similar invariante llama el polinomio de Alexander, que también puede ser definido en términos de una madeja de relación, pero que también admite una puramente "3 dimensiones" de la definición, que no depende de una elección de nudo diagrama. Atiyah preguntó si era del mismo modo, es posible dar una puramente "3 dimensiones" de la definición de la polinomio de Jones; sin que uno de ellos es bastante claro qué tipo de información acerca de un nudo en el polinomio de Jones es realmente diciendo.
En 1989 Witten propuesto un "3 dimensiones" definición de una teoría del campo cuántico llamado Chern-Simons teoría. El polinomio de Jones aparece como una cierta ruta integral en la teoría, que al menos en el momento en que, lamentablemente, sólo se define en un nivel físico de rigor. Sin embargo, Witten del papel desató una enorme cantidad de actividad matemática que todavía está en curso hoy en día. Esto es parte del trabajo para el que Witten ganó la medalla Fields, convirtiéndose en el primer físico para hacerlo.
Entre otras cosas, la Redacción de la propuesta se sugiere que el polinomio de Jones admite una generalización natural para un invariante de 3-variedades y provocó una gran cantidad de trabajo en topológico de la teoría cuántica de campos (por ejemplo, Reshetikhin-Turaev) de relatar esta historia (entre otras cosas) la teoría de los grupos cuánticos, bucle de grupos, y afín álgebras de Lie, que son de gran interés en la teoría de la representación.
En el año 2000 Khovanov descubierto una categorification del polinomio de Jones a una más potente, nudo y enlace invariante llamado Khovanov homología (análoga a la más clásica de categorification de los números de Betti de homología). Los intentos para entender Khovanov homología han llevado a un montón de interesantes trabajos en teoría de la representación y también en geometría simpléctica debido a su parecido con Floer de homología. No estoy del todo familiarizado con la literatura de aquí, y es demasiado grande para mí para intentar hacer justicia.
De la misma manera que el polinomio de Jones está relacionado con 3 dimensiones de la teoría cuántica de campos, Khovanov homología resulta ser relacionados a 4-dimensional de la teoría cuántica de campos. Este es un tema enorme en su propio, que en estos días es tal vez más famoso por aparecer en la historia de la geométrica programa de Langlands.
Yo sólo podía seguir adelante, pero, en cualquier caso, espero que haya hecho mi punto.
Nudo invariantes, en particular categorifications de quantum nudo invariantes, surgen de una impresionante gama de diferentes campos de la matemática pura: Hay Khovanov homología, la construcción en 2D topológico campo de las teorías, hay Khovanov-Rozansky homología, relativa a álgebra conmutativa y la singularidad de la teoría, hay Cautis-Kamnitzer del algebro-geométrico categorication de quantum ${\mathfrak s}{\mathfrak l}_n$-invariante, hay Mazorchuk-Stroppel-Sussan invariable el uso de la teoría de representaciones de álgebras de Lie, hay Lipshitz-Sarkar invariable con valores en homotopy tipos de espectros, y hay Seidel-Smith de la construcción que involucra Floer de homología. Probablemente yo aún echaba de menos algunos... pero la lista de arriba muestra ya que la fuente de nudo invariantes es increíblemente rica y diversa, y la conexión de estos diferentes enfoques es un tema activo de investigación. En particular, definitivamente, me gustaría (k)no decir que el nudo de la teoría es un subcampo de la topología.
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