¿Por qué usamos esta particular aproximación para la transformación bilineal?

Question

Como yo lo entiendo, para una señal \$f(t)\$ en el tiempo, su transformada de Laplace \$\mathfrak{L}\left\{f(t)\right\}=F_1(s)\$ y transformada en Z \$\mathfrak{Z}\left\{f(t)\right\}=F_2(z)\$ están relacionados por una transformación \$z=e^{sT}\leftrightarrow s=1/T\,\log(z)\$ donde \$T\$ es el período de muestreo (desde la transformada en Z es discreta en el tiempo).

En la práctica, esto se aproxima a la de primer grado de la siguiente manera $$\begin{align*}z&=e^{sT}\\&=\frac{e^{sT/2}}{e^{-sT/2}}\\&\approx\frac{1+sT/2}{1-sT/2}\end{align*}$$and thus \$(1-sT/2)z\approx1+sT/2\$ so \$sT/2\approx(z-1)/(z+1)\$ and ultimately \$s\approx\frac2T\frac{z-1}{z+1}=\frac2T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\$.

Ahora, tengo entendido que hasta aquí, pero no entiendo por qué usamos esta particular aproximación de primer orden de más de, digamos, \$z=e^{sT}\approx1+sT\leftrightarrow s\approx(z-1)/T=\frac{1-z^{-1}}{Tz^{-1}}\$.

¿Esta aproximación "comportarse" en algunos significativamente peor manera para la mayoría de propósitos?

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Lo siento acerca de las etiquetas -- he intentado varias cosas como 'bilineal de transformación", pero que no existen y me falta los puntos para crear.

Answer 1

El Avance de Euler Transformar $$z=e^{sT}\approx1+sT\leftrightarrow s\approx(z-1)/T=\frac{1-z^{-1}}{Tz^{-1}}$$ is easy to understand in that it is a direct translation and scaling from the \$s\$-domain to the z-domain. But the translation can transform stable \$s\$-domain poles into unstable \$z\$-dominio de los polos.

Para ver esto consideremos el siguiente diagrama.

La Mitad Izquierda del Plano en el \$s\$-dominio (área sombreada) se escala por \$T\$ y traducido por \ $1\$ \$z\$- dominio. Debe ser claro para ver que un polo de X que es estable en \$s\$ puede ser inestable en \$z\$ por el Avance de Euler transformar.

En contraste, la transformación bilineal $$s\approx\frac2T\frac{z-1}{z+1}=\frac2T\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$$ translates the entire LHP of the s-domain in the unit circle of the \$z\$-dominio de la frecuencia de deformación a través de un intermedio w-plano.

Haciendo referencia al diagrama a continuación (ref: Ogata.K, de Tiempo Discreto Sistemas De 1995, Prentice-Hall), usted puede ver que todo el LHP de la \$s\$-dominio (a) se transforma en la unidad de círculo (b) a través de la w-plano escala (c).

Así que por eso Bilineal es preferido en la práctica para el Avance de Euler. Sin embargo, hay otras opciones como el cero-polo de coincidencia (que yo prefiero), que puede ser empleado a más de Bilineal debido a la frecuencia de deformación involucrados en Bilineal.

Answer 2

Puedo responder a su pregunta sólo en un contexto con el de capacitores conmutados (S/C), técnica que utiliza las herramientas matemáticas de procesamiento digital de señales. Aquí cuatro aproximaciones diferentes están en uso:

(1) de Euler hacia adelante (EF), (2) de Euler hacia atrás (EB), (3) bilineal (BI) y (4) LDI (sin pérdida discreta integrador).

Para S/C de circuitos, es práctica común el uso de S/C de circuitos basados en integradores. Aquí están las importantes diferencias:

(1) EF-integrador: Para el aumento de frecuencias a la aproximación de las causas de fase POSITIVA errores

(2) EB-integrador: Para el aumento de frecuencias a la aproximación de las causas de fase NEGATIVA errores

(3) BI-integrador: Ninguna fase y amplitud de los errores, sin embargo, por el aumento de las frecuencias que hay una especie de "reducción" del eje de frecuencia basado en una función arctan. Para todos los paso bajo y paso banda funciones de este efecto provoca un cero real para un número finito de frecuencia w=0.5*cmt (cmt: frecuencia de reloj). Este efecto se aprecia porque todos los periódicos espectral de repeticiones no se superponen y, por lo tanto, no se molesten entre sí.

(4) LDI-integrador: Combinación de dos integradores con los objetivos EF y EB aproximación, respectivamente.

Espero que esto ayude a responder a una parte de su pregunta.

EDIT: La aproximación (z-1)/T como se ha mencionado por usted es equivalente a la de la EF transformación.