Límite de $\sqrt[2n+1]{n^2+n}$

Question

Demostrar $a_n=\sqrt[2n+1]{n^2+n}$ tiende a $1$ $n$ tiende a infinito.

En el libro de texto, una sugerencia fue: Vamos a $a_n=1+h$, $n^2+n=(1+h)^{2n+1}\gt \binom{2n+1}{3}(h^3)$

A continuación, los pasos consecutivos son algunos de manipulación algebraica, me las arreglé para demostrar que $$\sqrt[3]{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n^2}}\gt \sqrt[2n+1]{n^2+n}-1\gt0$$ So $a_n$ tends to $1$ as $$ n se pone lo suficientemente grande.

Pero no entiendo por qué la $a_n$ $1+h$ en el primer lugar, en retrospectiva, esto hace que los cálculos mucho más conveniente. ¿Y cómo es que el autor sabe cuándo utilizar el coeficiente binomial y comparar el cuarto término, parece que el autor acaba de sacarla del aire.

Answer 1

Uno de los métodos de solución de esto es el uso de la regla de L'Hôpital.

$A_n = \lim_{n\to \infty} {(n^2 + n)}^{1\over(2n+1)}$

$ln(A_n) = \lim_{n\to \infty} {ln ((n^2 + n)^{1\over(2n+1)}})$

$ln(A_n) = \lim_{n\to \infty}{ln(n^2 + n)\over (2n+1)}$

$ln(A_n) = \lim_{n\to \infty}{{(2n+1) \over (n^2 + n)} \over 2}$ La Regla de l'Hôpital $ {"\infty" \over "\infty"}$

$ln(A_n) = \lim_{n\to \infty}{(2n+1) \over 2(n^2 + n)}$

$ln(A_n) = \lim_{n\to \infty}{2 \over 4n+2}$ La Regla de l'Hôpital $ {"\infty" \over "\infty"}$

$ln(A_n) = 0$

Por lo tanto, $A_n = 1$

Disculpas por el formato, esperemos que alguien será capaz de limpiar esto un poco para ver mejor, no estoy seguro de cómo hacerlo yo mismo (nuevo en esto).

Saludos, GaramMasala

Answer 2

Bueno, aquí es una intuitiva (pero no riguroso) argumento $$(n^{2} + n)^{1/(2n + 1)} \approx (n^{2})^{1/(2n + 1)} = n^{2/(2n + 1)} \approx n^{1/n} \to 1$$ where the last result $n^{1/n} \a 1$ is pretty standard. The idea to express $a_{n} = 1 + h$ and then show $h \to 0$ is by R. Courant (if I recall correctly) and he used it to show that $n^{1/n} \a 1$ as $n \to \infty$. He put $n^{1/n} = 1 + h$ so that $$n = (1 + h)^{n} > \frac{n(n - 1)}{2}h^{2}$$ so that $0 < h^{2} < \frac{2}{n - 1} \to 0$. Thus $h \to 0$ and $n^{1/n} = 1 + h \a 1$.

Tenga en cuenta que el uso de $n^{1/n} \to 1$ podemos analizar el comportamiento de la secuencia de $a_{n} = \{P(n)\}^{1/Q(n)}$ donde $P(n), Q(n)$ son polinomios y esta secuencia también tiene límite de $1$ (única restricción es que el coeficiente de la potencia más alta de $n$ $P(n)$ debe ser positiva, de lo contrario, la secuencia no está definida para todos los $n$ $Q(n)$ es de grado positivo). El hecho de que sigue más fácilmente si utilizamos los registros. Claramente $$\log a_{n} = \frac{\log P(n)}{Q(n)}$$ and if $P(n) = a_{0}n^{k} + a_{1}n^{k - 1} + \cdots$ then we can use $$\frac{a_{0}}{2}n^{k} < P(n) < 2a_{0}n^{k}$$ for all $n$ after a certain point and then on taking logs we get $$\frac{\log(a_{0}/2)}{Q(n)} + k\cdot\frac{\log n}{Q(n)} < \frac{\log(P(n))}{Q(n)} < \frac{\log(2a_{0})}{Q(n)} + k\cdot\frac{\log n}{Q(n)}\tag{1}$$ Since $n^{1/n}$ tends to $1$ it follows that $(\log n)/n \to 0$ and therefore $(\log n)/P(n) \a 0$. Applying squeeze theorem on $(1)$ we get $(\log P(n))/Q(n) \a 0$ and hence $a_{n} \a 1$. Just for completeness note that if coefficient of highest power of $n$ in $P(n)$ is negative then the inequalities in equation $(1)$ se invierten pero el resultado sigue siendo el mismo.

En su caso $P(n) = n^{2} + n, Q(n) = 2n + 1$. La técnica de Courant también puede ser utilizado en $a_{n} = \{P(n)\}^{1/Q(n)}$ directamente si $Q(n)$ es un entero positivo para todos los gran $n$. Como en el caso de $n^{1/n}$ ponemos $a_{n} = 1 + h$, de modo que $$P(n) = (1 + h)^{Q(n)} = (1 + h)^{q} > \binom{q}{r}h^{r}$$ We just need to choose $r$ such that degree of $$\binom{q}{r} = \binom{Q(n)}{r} = F(n)$$ as a polynomial in $n$ is higher than that of $P(n)$ and then we get $0 < h^{r} < P(n)/F(n)$ where $F$ has degree greater than $P$ and hence $h^{r}$ tends to $0$ and so $h \to 0$.

Si $Q(n) < 0$ para todos los gran$n$, a continuación, utilizamos $b_{n} = 1/a_{n} = \{P(n)\}^{1/R(n)}$ donde$R(n) = -Q(n)$, de modo que $R(n) > 0$ para todos los gran$n$$b_{n} \to 1$, de modo que $a_{n} \to 1$.

Answer 3

Más fácil: considere el $e^{\log a_n} = e^{\frac{\log (n^2+n)}{2n +1}}$. Recuerden $exp(\cdot)$ es una función continua. Todo lo que necesitas hacer es algo de álgebra.

Answer 4

Aviso, hemos $$a_n=\lim_{n\to \infty}\sqrt[2n+1]{n^2+n}=\lim_{n\to \infty}\left(n^2+n\right)^{\frac{1}{2n+1}}$$ Let, $n=\frac{1}{t}\implica t\0 \, como \ n\to \infty$, obtenemos $$\lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}\right)^{\frac{1}{\frac{2}{t}+1}}$$ $$=\lim_{t\to 0}\left(\frac{1+t}{t^2}\right)^{\frac{t}{2+t}}$$ $$=\lim_{t\to 0}\left(1+t\right)^{\frac{t}{2+t}}\times \lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{t}\right)^{\frac{2t}{2+t}}$$ $$=1\times 1=1$$