Si el producto de dos funciones continuas es cero, debe ser uno de las funciones que ser cero?

Question

Supongamos que tengo dos funciones continuas

$$f : \left[ a, b \right] \rightarrow \mathbb{R} \quad \text{and} \quad g : \left[ a, b \right] \rightarrow \mathbb{R}$$

y que tiene la siguiente propiedad

$$f(x) \times g(x) = 0 \space , \forall x \space \in \left[ a, b \right]$$

Puedo decir que una de las funciones tiene que ser necesariamente igual a $0$?

Por ejemplo, $f(x) = 0 \space , \forall x \space \in \left[ a, b \right]$.

ACTUALIZACIÓN: Ok, puedo ver desde la contraejemplos que la afirmación no es verdadera, pero ahora no puedo ver en que casos es cierto. Si dejo que la función de $g : \left[ a, b \right] \rightarrow \mathbb{R}$ ser cualquier función continua, entonces en ese caso que debo tener $f(x) = 0$ ?

Answer 1

Esto no es cierto en general. Considere la posibilidad de \begin{equation} f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 0 & a \leq x \leq \frac{a+b}{2} \\ x - \frac{a+b}{2} & \frac{a+b}{2} < x \leq b\end{array}\right. \end{equation} y \begin{equation} g(x) = \left\{\begin{array}{cc} x - \frac{a+b}{2} & a \leq x \leq \frac{a+b}{2}\\ 0 & \frac{a+b}{2} < x \leq b \\ \end{array}\right. \end{equation} Ambos son claramente continua y no idénticamente cero en $[a, b]$, sin embargo, $f(x)g(x) = 0$ por cada $x \in [a, b]$.

Edit: En respuesta a la actualización de la pregunta, la respuesta es sí. Si queremos $f(x)g(x) = 0$ todos los $x \in [a, b]$ y para cualquier función continua $g$, entonces debe ser cierto que $f \equiv 0$$[a, b]$.

Answer 2

No. Imagine un pequeño "bache" en torno a $0$, y un diferente "bump" en torno a $10$. Si quieres algo más preciso, me refiero a un bache. Entonces su producto siempre va a ser $0$ aunque ninguna función es $0$.

Answer 3

Que no se puede concluir. Por ejemplo, si $[a,b]=[-1,1]$ deje $f(x)=x+|x|$ $g(x)=x-|x|.$ Nota si $x \ge 0$$g(x)=0$, mientras que el si $x \le 0$ $f(x)=0$ por lo que el producto es cero en cualquier $x$ $[-1,1],$ sin embargo, ni la función es la función cero.

Answer 4

Considere la posibilidad de que los reales son una parte integral de dominio, por lo que no existen divisores de cero.

Deje $x\in[a,b]$ donde $a,b\in\mathbb R$.
Considerar un punto en $f(x)g(x)$.
Suponga $f(x)\ne0$.
Ahora $f(x)g(x)=0 \Rightarrow g(x)=0$, ya que el $\mathbb R$ no tiene divisores de cero.
Repita el procedimiento para el supuesto de que $g(x)\ne0$.

Por lo $f(x)g(x)=0 \Rightarrow f(x)=0 \lor g(x)=0$.

Todo lo que se requiere para que el producto sea cero en todo el conjunto blanco es que la imagen es cero $\forall x\in[a,b]$.

Answer 5

Los dos no siempre tiene que ser cero, pero uno tiene que ser cero siempre que el otro no lo es. Supongamos que $\exists x$ s.t. $f(x) \ne 0$ $g(x) \ne 0$ , claramente $f(x)g(x) \ne 0$.