La comprensión de la cruz de la relación y de conjugados armónicos

Question

Estoy estudiando geometría proyectiva y realmente estoy teniendo problemas con "grokking" ¿de qué se trata.

Hay un fácil/intuitiva y visual forma de entender la relación cruz? Entiendo que es importante porque es un invariante de transformaciones proyectivas, yo no entiendo cómo alguien podría descubrir que: ¡oh, si me acabo de tomar la relación de estos dos puntos, y la relación de estos dos puntos...

No entender cruz de relación, por supuesto, no entiendo armónico conjugados (soy consciente de completar cuadrángulo definición demasiado, pero no hace las cosas más fáciles para mí) y por qué iba alguien a querer definir tal cosa.

Soy consciente de que este es tal vez una de esas situaciones en las que algunos conceptos y definiciones que empiezan a tener sentido después de varias nuevas definiciones y teoremas, y se puede conseguir que la Ooooh, eso es lo que estamos tratando de hacer aquíde momento. Por otro lado, las raíces de la geometría proyectiva en los dibujos y el arte, así que tengo una sensación de que estos conceptos tal vez podría ser "explicable" en algunos de manera más fácil.

Answer 1

Uno de los aspectos más básicos de la geometría proyectiva es que las transformaciones proyectivas ley transitivamente en tripletas de puntos distintos en la línea proyectiva. Es decir, si $P,Q,R$ son tres puntos distintos en una línea proyectiva, y $P',Q',R'$ son otros tres puntos distintos, entonces existe una transformación proyectiva de la línea de asignación de $P$ a $P'$, $Q$ a $Q'$, e $R$$R'$.

Por lo tanto, al considerar la relación entre los cuatro puntos de $P,Q,R,S$, tiene sentido utilizar una transformación proyectiva para asignar los tres primeros puntos de $P,Q,R$ a algunos "posición normal". Así, opción habitual es asignar $P$ a $0$, $Q$ a $1$, e $R$$\infty$, en cuyo caso la imagen de $S$ es la proporción de la cruz $$ (P,Q,R, S) \;=\; \frac{(S-P)(Q-R)}{(P-P)(S-R)}. $$ Otra forma de decir esto es que el mapa $$ x \;\mapsto\; (P,Q,R, x) $$ es la única transformación proyectiva de $\mathbb{R}P^1$ que se asigna a $P$ a $0$, $Q$ a $1$, e $R$$\infty$.

En términos de perspectiva en el dibujo, si $P$, $Q$, y $R$ son puntos en una línea de $L$ en una pintura, en la $R$ se encuentra en el "horizonte", entonces la cruz de relación define una escala lineal en $L$, usando la distancia de $P$ $Q$como unidad de longitud.

Answer 2

Originalmente, había escrita una respuesta de tres partes, pero ahora que Jim Belk, escribió uno de ellos, voy a concentrarme más en los demás.

Cruz de relación

Comience con el hecho de que una transformación proyectiva puede ser expresado como un no-singular de la matriz, que se multiplica con la homogeneidad de las coordenadas de los puntos. Con el fin de obtener un invariante, usted necesita algo en que la multiplicación de la matriz no tiene ningún efecto, pero en lugar de cancela. Pero como les voy a mostrar a continuación, aún más la motivación podría ser que su posible invariantes depende sólo de los puntos involucrados, no en sus homogénea representantes utilizado en el cálculo.

De las operaciones que hace sentido? No hay demasiados razonable de las operaciones de que uno puede realizar en dos elementos de los vectores. Usted puede suma, resta, etc, pero en aquellos casos en los que obtener otro vector. Nos gustaría hacer las cosas más simples, así que buscamos algo que lleva a algunos vectores y produce un escalar. El determinante es un buen candidato aquí. Voy a usar corchetes $[\ldots]$ para denotar determinantes. Desde sus vectores de dos elementos, y son los factores determinantes definido sólo para matrices cuadradas, usted sabe que cada soporte se contienen (los representantes) de dos puntos.

Comenzar con cualquiera de los dos puntos, y puede formar el determinante $[AB]$. Este valor depende de los representantes que han elegido para sus puntos. Usted tiene dos opciones: escribir una ecuación como $[AB]=0$ o escribir una fracción de tal manera que cualquier coeficientes escalares en frente de sus vectores cancelar. La ecuación de la realidad comprueba si $A$ $B$ denotar el mismo punto, lo que sin duda es un invariante de la propiedad, pero no lo queremos ahora. Así que cualquiera de estas fracciones es una opción:

$$\frac{[AB]}{[AB]}=1 \qquad \frac{[AB]}{[BA]}=-1$$

Resulta que con dos puntos, los invariantes son demasiado invariante: producen valores fijos y por lo tanto no hacen ninguna declaración acerca de la configuración del punto. Así que vamos a echar un tercer punto, y se puede formar cosas como

$$\frac{[AB][AC]}{[AB][BC]}\qquad\frac{[AB][AC]}{[AC][BA]}=-1$$

Pero estos son de nuevo problemático. La primera depende de los representantes, las escalas proporcionales con $A$ y recíproca con $B$. El segundo es de nuevo fijo. Formulada como requisitos, necesitamos que cada punto de producirse el mismo número de veces en el numerador y el denominador, y necesitamos el numerador y el denominador a ser sustancialmente diferentes, no sólo en términos intercambiados y columnas intercambiado dentro de un determinante. No importa cómo usted intenta, que no se puede lograr tanto de esto con los tres puntos.

Así que tome un cuarto de punto. Asegúrese de que tiene todos los cuatro puntos en el numerador y el denominador, por lo que los factores cancelar. Asegúrese también de que los pares de puntos en común determinante son diferentes para el numerador y el denominador. El resultado será una cruz proporción de sus cuatro puntos, aunque todavía puede golpear a cualquiera de las seis permutaciones. La canónico sería

$$(A,B;C,D)=\frac{[AC][BD]}{[AD][BC]}$$

Y ahí lo tienes: este es el más fácil que usted puede adjuntar el número mínimo de puntos que no es constante y no depende de los representantes. Y ya que usted tiene el mismo número de los factores determinantes en el numerador y el denominador (ya que tienen el mismo número de puntos que ocurren el mismo número de veces), puede factor determinante de una transformación proyectiva y cancelar así, por lo que realmente tiene un invariante.

No estoy afirmando que el de arriba es el desarrollo histórico, sólo estoy motivar por qué la cruz de relación no es tan oscuro como parece.

Los conjugados armónicos

Así que ahora que sabemos que la cruz de relaciones de sentido algebraicamente, usted puede ser que desee para la construcción de ellos. Y te darás cuenta de que usted tiene un tiempo difícil hacerlo, dependiendo del valor real objetivo. Usted puede empezar a buscar en el más simple de los valores.

Un enfoque es la consideración de la cruz en proporción de uno de los puntos si los demás se fijan en $\infty$, $0$ y $1$. El punto designado en $\infty$ le permite expresar afín a los conceptos, el punto de $0$ corrige un origen y $1$ corrige una escala, por lo que la elección es comprensible también.

Así que puedes comenzar a buscar para casos especiales de cruz proporciones, y después de algunas cambiando a su alrededor también voy a tratar tres puntos equidistantes. De modo que su punto libre es en $\frac12$, entre el$0$$1$, o al $2$ o a $-1$, con uno de los otros puntos exactamente en el medio. Niza fácil cruz proporciones, pero se puede construir?

En la distancia Euclídea caso, usted seguramente puede construir puntos equidistantes. Incluso puedes hacerlo usando solo las herramientas que tienen una contraparte en proyectiva geometría plana: asociarse, reunirse y paralelo. Una posible construcción utilizando triángulos congruentes sería este:

Ahora usted puede dar vuelta la construcción de esa obra en su proyectiva contraparte, moviendo el punto en el infinito a un número finito de posición, y también la línea en el infinito que es necesaria para el parallels. Se termina con esto:

Y ahí lo tienen: una bien definida de la cruz de relación que no sólo se puede calcular, pero también construir.

Ahora uno puede mostrar que una secuencia finita de tales armónico punto de construcciones puede construir cualquier punto con el racional de la cruz la relación de a tres puntos dados. Por lo que cualquier operación de la que se conserva armónico de los puntos más probable es que también conserva de la cruz de los coeficientes. Al menos más de $\mathbb Q$ $\mathbb R$ este es el caso, aunque esto último requiere algo más de trabajo. Por otro lado, todo lo que conserva las líneas de preservar armónico punto de construcciones. Así que esto nos da una especie de contraparte geométrica de por qué la cruz proporciones son invariantes proyectivos.

Answer 3

bien, algo que siempre he pensado que era interesante es que, por ejemplo, en la geometría Euclidiana, el invariante bajo transformaciones ortogonales (translaciones, rotaciones, simetrías, etc.) es la distancia. Ahora en geometría afín, de que la geometría Euclidiana es un sub-geometría de acuerdo a la Klein modelo, el invariante de transformaciones afines es la simple relación, que es, con ciertas consideraciones, un cociente de distancias. Y, en geometría proyectiva, de los cuales afín a la geometría es un sub-geometría, el invariante es, como usted ha mencionado, la cruz de relación. Se puede demostrar que la cruz proporción de cuatro puntos, cuando se la considera como los correspondientes puntos de un proyectivas de cierre de un espacio afín, es en realidad un cociente de sencillas proporciones.

Esa última parte puede haber sido desordenado... así que tenemos una Afín a la línea de $\mathbb A $ (un uno-dimensional espacio afín). Considere la posibilidad de $A,B,C,D \in \mathbb A $ $\bar A, \bar B, \bar C, \bar D,$ de los puntos correspondientes en la proyectivas de cierre de $\mathbb A, $, lo que vamos a llamar a $ \bar {\mathbb A} $. La relación de $A,B,C $$(A,B,C) = \lambda \mid \overrightarrow {CA} = \lambda \overrightarrow {CB}$, con el permiso de $B = C $, caso en el cual definimos $(A,B,C) = \infty $.

No se a complicado un asunto para demostrar que $$ (\bar A, \bar B, \bar C,\bar D) = (A,B,C)/(A,B,D) $$

así que de alguna manera, y no sé si esto es importante, cuando se toma el quocient de invariantes, usted termina con una invariante de una forma más general de la geometría. Al menos en el caso de estos tres. No he estudiado lo suficiente la geometría en un sentido más general para saber si esto significa algo, pero es genial de todos modos.

Otra cosa es que vemos las cosas en perspectiva, lo que significa que nuestro ojo no algún tipo de transformación proyectiva de la realidad, así que lo único que tenemos que preservar en ver las cosas de alguna manera es el de la cruz proporciones de las cosas...tal vez.