Los dominios de la continuidad

Question

Yo estaba jugando con la definición de continuidad uniforme, y se dio cuenta de que una buena aplicación de la misma es la posibilidad de ampliar las funciones.

Por ejemplo, supongamos que tenemos un uniforme función continua $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$.

Por el uniforme de la continuidad, es fácil ver que tal función se extiende (exclusivamente) a una función continua $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$.

Si dejamos caer el uniforme de la continuidad de la asunción y la demanda sólo eso $f$ a ser continuo, esto no es cierto, como se demuestra fácilmente por $f(x) = \frac{1}{x-\pi}$ que es continua en a$\mathbb{Q}$, pero no se puede extender a una función continua en todos los de $\mathbb{R}$.

Lo que me lleva a mi pregunta: ¿hay una buena descripción de los conjuntos de $A\subseteq \mathbb{R}$ que tienen la siguiente propiedad: hay una función de $f:A\to \mathbb{R}$ que es continuo, pero para cualquier $x \notin A$, $f$ no se puede extender a una función continua en a $A\cup \{x\}$ ?

Ciertamente abierto de los juegos de esta propiedad, porque si $A$ es abierto y $B$ es su complemento, entonces podemos definir $f:A\to \mathbb{R}$$f(x) = \frac{1}{dist(x,B)}$.

Por el contrario, son todos los conjuntos abiertos?

Edit: por Robert Israel niza ejemplos, parece que no todos los conjuntos son abiertos. Todavía me pregunto si hay una buena descripción de esta conjuntos?

Answer 1

No, no están todos abiertos. Por ejemplo, si $A^c = \{b_i: i \in {\mathbb N}\}$ es un conjunto discreto (es decir, todos los puntos aislados), a continuación, $A$ tiene esta propiedad: vamos a $g(x) = \sin(\pi/x)$ para $0 <|x|<1$, $0$ para $|x|>1$, y tomar $f(x) = \sum_{i=1}^\infty 2^{-i} g((x - b_i)/r_i)$ donde $r_i$ se eligen de manera que los intervalos de $[b_i - r_i, b_i + r_i]$ son disjuntas. Pero $A$ no se abrirá si la secuencia de $b_i$ tiene un punto límite.

Answer 2

Los conjuntos con la propiedad son exactamente los densos $G_\delta$'s.

1) Supongamos $A \subset \mathbb R$, e $f$ una función definida en el $A$. Deje $G$ el conjunto de puntos de $x$ tal que cualquiera de las $x$ no es un punto límite de $A$ o $\lim_{t \to x} f(t)$ existe. A continuación, $G = \bigcap_{n \in {\mathbb N}} U_n$ donde $$U_n = \{x \in {\mathbb R}: \text{ there is }\delta > 0 \text{ such that for all } y,z \in A \cap (x-\delta, x+\delta),\ |f(x) - f(y)| < 1/n\}$$ Tenga en cuenta que $U_n$ es abierto, por lo $G$$G_\delta$. Si $A$ tiene la propiedad, debemos tener $A = G$, debido a $f$ puede ser ampliado continuamente a cualquier miembro de $G$ no $A$; en particular, $A$ debe ser un $G_\delta$. Como se señaló anteriormente, $A$ debe ser denso.

2) Si $A$ es un denso $G_\delta$, escribir $A^c = \bigcup_{n} E_n$ donde $E_n$ es cerrado y denso en ninguna parte. Definir $$f(x) = \sum_{n} 3^{-n} \sin(1/\text{dist}(x,E_n))$$. Since each summand is continuous on $Un$ and the series converges uniformly there, $f$ is continuous on $$. On the other hand, if $x \noen Un$, decir $x \in E_n \backslash \bigcup_{m < n} E_m$, hay puntos de $y,z \in A$ arbitrariamente cerca de $x$$|f(y) - f(z)| > 3^{-n-1}$.