¿Cómo podría demostrar que $\mathbb{Q_m} \cap \mathbb{Q_n} = \mathbb{Q_{(m, n)}}$ (aquí $\mathbb{Q_n}$ denota el $n$ ¿el campo ciclotómico)? Ya conozco una solución que implica el hecho de que dados dos campos de extensión normal $M, L$ de algún campo $K$ contenida en alguna extensión común, entonces $\text{Gal}(ML/L) \cong \text{Gal}(M/M \cap L)$ pero ¿existe una solución que no requiera dicho teorema?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Incluí este ejercicio en un artículo que escribí (que supongo que es de donde el autor de la pregunta sacó este problema si es el mismo bzprules en Art of Problem Solving) por una razón: no se necesita nada avanzado. Sólo algunas ideas complicadas.
Denote $\displaystyle \omega_n = \text{exp} \left ( \frac{2 \pi i}{n} \right)$ . Denote $\ell = \text{lcm}[m,n]$ y $d = \gcd(m,n)$ .
Dejemos que $F = \mathbb{Q}[\omega_n] \cap \mathbb{Q}[\omega_m]$ . Consideremos los automorfismos sobre $\mathbb{Q}[\omega_\ell]$ que arreglan $\mathbb{Q}[\omega_n]$ . Está claro que se definen por $f_k : \omega_{\ell} \to \omega_{\ell}^k$ donde $\gcd(k,\ell) = 1$ y $k \equiv 1 \pmod{n}$ . Ahora viene la parte complicada de la prueba: nótese que también son automorfismos para $\mathbb{Q}[\omega_m]$ que arreglan $F$ ¡! Está claro que arreglan $F$ debido a $k \equiv 1 \pmod{n}$ (o más sencillamente, es un subcampo de $\mathbb{Q}[\omega_n]$ ). Para ver que también son isomorfismos en $\mathbb{Q}[\omega_m]$ Sólo hay que tener en cuenta que es efectivamente exponencial $\omega_m$ por $k$ para $\gcd(k,m) = 1$ así que por supuesto que funciona. Sigue $$\frac{\phi(\ell)}{\phi(n)} = \frac{\phi(m)}{\phi(d)} \le [\mathbb{Q}[\omega_m]:F]$$ debido a que hay al menos $\displaystyle \frac{\phi(\ell)}{\phi(n)}$ automorfismos. Así, $[F : \mathbb{Q}] \le \phi(d) \implies F = \mathbb{Q}[\omega_d]$ porque eso $[\mathbb{Q}[\omega_d] : \mathbb{Q}] = \phi(d)$ y $\mathbb{Q}[\omega_d] \subset F$ .
La motivación de esta prueba es que necesitamos acotar $[F : \mathbb{Q}]$ desde arriba, por lo que es natural considerar $[K : F]$ para algún campo $K$ . Como los campos ciclotómicos tienen buenos grupos de Galois, a menudo podemos acotar la dimensión encontrando automorfismos.
Judge Maygarden
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Dejar $K = \mathbb{Q}(\zeta_m) \cap \mathbb{Q}(\zeta_n)$ . Claramente $K \supset \mathbb{Q}(\zeta_{(m,n)})$ ; queremos mostrar la inclusión inversa.
Observe que $\frac{\varphi([m,n])}{\varphi(n)} = [\mathbb{Q}(\zeta_{[m,n]}: \mathbb{Q}(\zeta_n)] = [\mathbb{Q}(\zeta_m):K]$ y $\varphi(m) = [\mathbb{Q}(\zeta_m):\mathbb{Q}] = [\mathbb{Q}(\zeta_m): K] [K:\mathbb{Q}]$ . Por lo tanto,
$$ \frac{\varphi(m)}{[K:\mathbb{Q}]} = \frac{\varphi([n,m])}{\varphi(n)}.$$
Afirmamos que
$$\varphi((n,m))\varphi([n,m]) = \varphi(n)\varphi(m)$$ .
Si $\prod p_i^{e_i}$ es la factorización primaria de $n$ y $\prod q_i^{f_i}$ es la factorización primaria de $m$ entonces el lado derecho es $nm$ veces $\prod \left( 1- \frac{1}{p_i} \right) \prod \left( 1-\frac{1}{q_i} \right))$ . Desde $nm = [n,m] (n,m)$ el lado izquierdo es $nm$ veces $\prod (1-\frac{1}{p_{i_j}})$ donde el producto pasa por los primos que dividen $n$ y $m$ (para el LCM) y los primos que dividen a ambos $n$ y $m$ de nuevo (para el gcd). Son claramente iguales. Así que $[K:\mathbb{Q}] = \varphi((n,m)) = [\mathbb{Q}(\zeta_{(m,n)}):\mathbb{Q}]$ lo que implica que $K = \mathbb{Q}(\zeta_{(n,m)})$ .
Usuario no registrado
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De momento no puedo dar una prueba del caso general sino sólo del caso concreto que $m = p^r$ y $n = q^s$ por lo que $(m,n) = 1$ . Escribamos $L = \Bbb{Q}(\zeta_n)$ y $L' = \Bbb{Q}(\zeta_m)$ . Queremos demostrar que $$L \cap L' = \Bbb{Q}(\zeta_{(m,n)}) = \Bbb{Q}.$$
En primer lugar, está claro que $L \cap L' \supseteq \Bbb{Q}$ . Ahora toma el mismo primo $p \in \Bbb{Z}$ . Entonces el primer $p$ está totalmente ramificado en $\mathcal{O}_L'$ porque $$p\mathcal{O}_{L'} = (1- \zeta_m)^{\varphi(m)}.$$
Así, utilizando los resultados de la teoría de la ramificación, obtenemos que $p$ también está totalmente ramificado en $\mathcal{O}_{L \cap L'}$ . Por otro lado, porque el discriminante de $L$ es una potencia de $q$ , $p$ debe ser desramificado en $\mathcal{O}_L$ y, por lo tanto, no está ramificado en $\mathcal{O}_{L \cap L'}$ . Concluimos que $$L \cap L' = \Bbb{Q}.$$
