Un Rompecabezas acerca de $SO(3)$

Question

Mentira álgebra de nonabelian grupo es $[T^a,T^b]=if^{abc}T^c$. Para $SO(3)$ de los casos, es la representación $T^a_{ij}=-i\epsilon^{aij}$ fundamentales o adjuntos? Los fundamentales de la representación se define como la identificación de las $T^a$ el generador original. El adjunto de la representación se define como la identificación de las $T^a$ como la constante de estructura. Para $SO(3)$ de los casos, los generadores parecen ser la misma de estructura constante.

Referencia:

1. Srednicki QFT

Answer 1

La definición de una Mentira álgebra por las relaciones de conmutación $[T^a,T^b]=if^{abc} T^c$, el adjunto de la representación se define por $(T_{adj}^a)^{bc}= if^{abc}$. Ahora resulta, que en el caso especial de $so(3)=su(2)$, usted tiene $f^{abc} = \epsilon^{abc}$ donde $\epsilon^{abc}$ es totalmente tensor antisimétrico. Así, su representación es el adjunto de la representación.

[EDITAR]

Debido a OP comentarios, algunas precisiones :

Hay una sutileza. la Mentira de álgebra definida por las relaciones de conmutación $[T^a,T^b]=i\epsilon^{abc} T^c$ es fundamentalmente $su(2)$, pero también es $so(3)$.

¿Por qué esto? En efecto, a diferencia de la Mentira grupos pueden corresponder a la misma Mentira de álgebra. En el largo camino, si tomamos el "exponencial" de una Mentira álgebra, obtenemos sólo uno simplemente se conecta Mentira grupo. A partir de la Mentira álgebra $su(2)$, y exponentiate, obtenemos el simplemente se conecta Mentira grupo $SU(2)$. Sin embargo, de la Mentira de grupo $SU(2)$, podemos considerar otra Mentira de los grupos que son el cociente de $SU(2)$ por un grupo finito, por lo que estos nuevos grupos no son simplemente conectado, pero comparten con $SU(2)$ la misma Mentira de álgebra. Por ejemplo, uno ha $SO(3) = SU(2)/Z_2$. Por lo tanto, dos elementos de $SU(2)$ corresponden al mismo elemento de $SO(3)$. Pero $SO(3)$ $SU(2)$ comparten la misma Mentira álgebra $su(2)$

Vemos que $SU(2)$ juegan un papel central en todo esto, así que es natural buscar en su fundamental de la representación, que es $2-$dimensiones fundamentales de la representación es simplemente dada por las Matrices de Pauli $(T_{f}^a)= \frac{1}{2}\sigma_a$. El adjunto a la representación de $SU(2)$ es de 3 dimensiones y que está dado por $(T_{adj}^a)^{bc}= if^{abc}$

Ahora, usted puede pensar también en las representaciones de $SO(3)$, y, sí, la fundamental es la representación $3$-dimensional, y es el mismo que el medico adjunto de la representación de $SU(2)$.

De hecho, es mejor dar a $SU(2)$ un papel central, en el sentido, de que las representaciones de $SO(3)$ están incluidos en las representaciones de $SU(2)$ (el inverso no es cierto), que es más fundamental (porque, como se explicó anteriormente, es simplemente conectado grupo que obtenga por exponentiating la Mentira de álgebra).

Finalmente, un problema de vocabulario, tal vez usted ha oído hablar de escuchará también acerca de "spinorial" las representaciones de $S0(3)$, pero en realidad es simplemente la representación de $SO(3)$ que no son estándar ("vectorial") representaciones de $SO(3)$, por lo que estos son representaciones de $SU(2)$, que no son habituales las representaciones de $SO(3)$. Por ejemplo, usted puede considerar fundamental la representación de $SU(2)$ (que se aplica a un 2-spinor), como un "spinorial" representación de $SO(3)$