¿Cuáles son las limitaciones/complementos de la Transformada de Fourier y las Series de Fourier?

Question

Me gustan las series de Fourier y la transformación de Fourier.

Pero cada enfoque tiene algunos resultados y algunas deficiencias. Sus limitaciones llevan a la innovación de un nuevo enfoque. Entonces, ¿alguien puede explicar acerca de

1. ¿Las limitaciones/defectos de las Series de Fourier?

2. ¿Las limitaciones/defectos de la Transformada de Fourier?

Answer 1

Esta es mi opinión, sesgada y probablemente incompleta, sobre las ventajas y limitaciones de las series de Fourier y de la transformada de Fourier, como herramienta para las matemáticas y el procesamiento de señales.

Ventajas

• Las series de Fourier y la transformada de Fourier ocupan un lugar único en el análisis de muchos operadores lineales, esencialmente porque los exponenciales complejos son los vectores propios/funciones propias de los operadores lineales invariables por desplazamiento. En el tratamiento de la señal, esto se ilustra mediante la teorema de convolución aunque la teoría es mucho más profunda (véase: Operadores pseduo-diferenciales ). En relación con esto está el papel de la transformada de Fourier en los fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica - el análisis de Fourier está directamente relacionado con el "momento", ya que las funciones propias del operador de momento $-i\partial_x$ son los exponenciales complejos.
• En esta misma línea, el análisis de Fourier conduce a una teoría extremadamente potente de la suavidad, debido a la correspondencia entre la diferenciabilidad y el decaimiento de los coeficientes de Fourier. Véase Espacios de Sobolev .
• El análisis de Fourier es muy potente en el estudio de funciones generalizadas .
• Desde el punto de vista del análisis numérico y el procesamiento de señales, la precisión de los métodos basados en Fourier tiene la ventaja de estar limitada únicamente por la suavidad de la función subyacente. Esto significa varias cosas: Los métodos de Fourier son muy buenos para aproximar cosas muy suaves, pero quizás no tan buenos para aproximar cosas menos suaves. Véase "desventajas".
• Las técnicas generales que aprendemos de Fourier, como la expansión de funciones en una base ortonormal, son extremadamente potentes. Véase teoría espectral .

Desventajas

• En primer lugar, desde el punto de vista numérico, las cuestiones de convergencia desempeñan un papel enorme. Véase Fenómeno de Gibbs . Esto lleva a un problema secundario: las series de Fourier no son "eficientes" para resolver funciones discontinuas o multiescalares. Esto queda ilustrado, por ejemplo, por la gran diferencia entre la compresión de imágenes JPEG original, que se basa en series de Fourier, y las técnicas modernas de compresión de imágenes como JPEG2000, que se basan en técnicas más multiescalares como las Wavelets.
• En relación con el hecho anterior, las series de Fourier no dan información sobre la localización espacial/temporal de las características. Una serie o transformada de Fourier puede decir que hay es una discontinuidad, pero no puede decirte donde es. Piensa en una partitura musical: tener sólo la transformada de Fourier es como saber qué notas tienes que tocar, pero no cuando para jugar con ellos. No es muy útil si quieres escuchar música. Esto es en parte lo que ha inspirado el estudio de las representaciones de fase-espacio-tiempo-frecuencia-onda (que, por cierto, desempeñan un papel cada vez más importante en teoría cuántica ).
• El análisis clásico de Fourier es menos aplicable en general para no lineal y no estacionario/transitorio (¡aunque sigue siendo enormemente potente en algunos casos!)

Answer 2

La integral de una transformada de Fourier canónica debe converger, lo que significa que el ancho de banda de la señal es algo limitado. Ahora considere, la dificultad de interpretar la transformada de Fourier incluso para las funciones más comunes, como el coseno, o más interesante, funciones como rand(x) .