'Cada conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es la unión de distintos intervalos abiertos.' ¿Cómo se puede demostrar esto sin la indización de los intervalos de con $\mathbb{Q}$?

Question

En mi libro de los ejercicios de la sección que se me pide probar que cada acotado, conjunto abierto en $\mathbb{R}$ es la unión de separar abrir intervalos.

Buscando por internet he encontrado que muchas de las estrategias que implican la asignación de cada intervalo de un número racional. Esto tiene el efecto de no sólo mostrar que la demanda se mantiene, pero también muestra que los intervalos de ser de la unión-ed son contables. Tan lejos como yo he visto, que en su mayoría proceder de la siguiente manera:

La figura que cualquier miembro de un abierto no vacío subconjunto $A$ $\mathbb{R}$ es parte de algún intervalo abierto dentro de $A$. Por las propiedades de los intervalos en $\mathbb{R}$, que el intervalo contiene un racional. Con este razonamiento, entonces, se puede obtener un intervalo abierto que corresponde a cualquier punto en $A$. Elija sólo los distintos intervalos. Desde $\mathbb{Q}$ es contable, el número de intervalos es también contables. La unión de estos disjuntos intervalos de ser $A$.

Hay otra manera de hacer esto que no se trata de un extraño conjunto como $\mathbb{Q}$ y no termina demostrando un fuerte reclamo? Más específicamente, hay una manera de resolverlo que depende de las propiedades de los delimitada abrir sets (y posiblemente de las bolas)?

Si no, ¿cómo habría que deducir a partir de los resultados deseados que usted tendría que implicar el subconjunto $\mathbb{Q}$ ? Parece venir de la nada que usted necesita para utilizar su densidad propiedades en $\mathbb{R}$ para completar la prueba.

Gracias!

Answer 1

Deje $U$ ser acotado, no vacío abierto subconjunto de $\Bbb R$. Para $x,y\in\Bbb R$ vamos

$$I(x,y)=\begin{cases} [x,y],&\text{if }x\le y\\ [y,x],&\text{if }y\le x\;. \end{casos}$$

$I(x,y)$ es sólo el intervalo cerrado con extremos de $x$$y$, independientemente de si $x\le y$ o $y\le x$.

Definir una relación $\sim$ $U$ como sigue: $x,y\in U$, $x\sim y$ iff $I(x,y)\subseteq U$. Es fácil comprobar que $\sim$ es una relación de equivalencia. Deje $J$ $\sim$- clase de equivalencia. $J$ es limitado, así que vamos a $a=\inf J$$b=\sup J$. Tenga en cuenta que $I(x,y)\subseteq J$ cualquier $x,y\in J$, lo $J$ no tiene "agujeros" y debe ser uno de los cuatro intervalos con extremos de $a$ y $b$, $(a,b),[a,b),(a,b]$, o $[a,b]$.

Supongamos que $a\in J$; a continuación,$a\in U$, por lo que existe un intervalo abierto $(a-\epsilon,a+\epsilon)\subseteq U$. Deje $u=a-\frac{\epsilon}2$; claramente $u\sim a\in J$, lo $u\in J$, contradiciendo la elección de $a$. Por lo tanto, $a\notin J$. Un argumento similar muestra que $b\notin J$. Por lo tanto, debemos tener $J=(a,b)$

Es decir, cada una de las $\sim$-clases de equivalencia es un intervalo abierto. Las clases de equivalencia de cualquier relación de equivalencia de la partición de la base de que la relación, por lo que el $\sim$-clases de equivalencia de la partición de $U$ en distintos intervalos abiertos.

El mismo argumento funciona incluso si $U$ es ilimitado, aunque en esos casos uno o dos de las clases de equivalencia puede ser una desenfrenada intervalo abierto: si $U=\Bbb R$ solo hay uno, $\Bbb R$ sí, y de lo contrario, usted puede obtener un intervalo de la forma $(\leftarrow,a)$ o un intervalo de la forma $(a,\to)$ o ambos.

Usted necesita $\Bbb Q$ sólo para mostrar que esta descomposición tiene sólo countably muchas piezas. Y usted ¿ necesita $\Bbb Q$ o algún otro contables subconjunto denso de $\Bbb R$ para que: el argumento que he utilizado anteriormente realidad muestra que en cada linealmente ordenado el espacio de cada conjunto abierto puede ser escrito como una unión de intervalos disjuntos, pero no son separables lineal de orden, en el que algunos de los juegos de sólo descomposiciones con una cantidad no numerable de piezas.

Answer 2

Supongamos que el conjunto abierto se llama $S$. Para cada una de las $x \in S$ deje $${\mathcal{I}}_{x} = \{ I \subseteq S \colon I \text{ is an open interval and } x \in I \} .$$ A continuación, $\cup {\mathcal{I}}_{x}$ es un intervalo abierto que contiene a $x$. Observe que

• $\cup {\mathcal{I}}_{x} \subseteq S$.
• $\cup {\mathcal{I}}_{x}$ es un intervalo. De hecho es la más grande del intervalo que contiene a $x$ y también es un subconjunto de a $S$.

Supongamos que $x, y \in S$. Si $\cup {\mathcal{I}}_{x}$ $\cup {\mathcal{I}}_{y}$ tienen intersección no vacía, a continuación, los dos conjuntos son iguales. (La unión de los intervalos que se cruzan es un intervalo.} Pero, a continuación, $S$ es la unión de intervalos disjuntos.

Answer 3

Para cada una de las $x \in S$, corregir algunos $I_x$ tal que $x \in I_x \subset S$. La unión de estos intervalos es igual a $S$. Si alguno de los intervalos se superponen, deje $J$ ser un índice establece la definición de la superposición máxima. A continuación, $I_x \subset S$ para todos los $x \in J$, $\bigcup_{x \in J} I_x \subset S$, un intervalo abierto por la construcción.

Vamos $y := \inf ( x, x \in J)$, $y$ no en $S$, $y \geq a$ para algunos $a$ por el acotamiento, y denotan $K_y := \bigcup_{x \in J} I_x$. Definir un intervalo abierto $K_y$ para cualquier parte de la $S$ donde se superpone a ocurrir, y tenga en cuenta que por la construcción de $K_y \cap K_z = \emptyset$ al $y, z$ fueron definidos por este procedimiento, y $z > y$ (por ejemplo). Luego de este procedimiento se obtiene un conjunto de índices $K$ tal que $$\bigcup_{y \in K} K_y = \bigcup_{x \in S} I_x =S,$$ es un discontinuo de la unión.