Rango de la curva en un intervalo compacto es denso en ninguna parte

Question

Me miró a través de esta pregunta sobre el por qué de $\mathbf{R}^2$ no es de la primera categoría.

Entiendo cómo se iba a seguir en caso de que la imagen de una curva en un compact/intervalos finitos en $\mathbf{R}$ es denso en ninguna parte en $\mathbf{R}^2$. Yo no entendía ninguna de las respuestas, ya que no he aprendido cualquier teoría de la medida. También, he navegado por el texto referenciado, y esta pregunta aparece antes de que cualquier teoría de la medida se introdujo.

Hay una prueba de que la imagen de una $C^1$ curva en compacto/finitos (uno u otro) el intervalo es denso en ninguna parte en $\mathbf{R}^2$ que sólo utiliza las ideas de topología general, y no la teoría de la medida?

Answer 1

Un $C^1$ curva de $\gamma\colon[0,1]\to\mathbb{R}^2$ debe ser nada denso por el siguiente argumento.

En primer lugar, $\gamma$ tiene longitud finita $\int_0^1\vert\gamma^\prime(t)\vert\,dt$.

A continuación, para cualquier entero positivo $n$, considere la posibilidad de la $(n+1)^2$$(i/n,j/n)$$0\le i,j\le n$. Estos se encuentran en la unidad de la plaza de $[0,1]^2$, y cada par de puntos se distancia de al menos $1/n$ aparte. Así, una curva que pasa a través de todos ellos tiene una longitud de, al menos,$((n+1)^2-1)/n=n+2$. Dejando $n$ ir hasta el infinito, vemos que una longitud finita de la curva no se puede asignar a $[0,1]^2$.

Así, la imagen de $\gamma$ no puede contener la plaza de la unidad y, por escala, no contiene ninguna abierto no vacío es subconjunto de a $\mathbb{R}^2$. Como la imagen es cerrado, esto significa que es denso en ninguna parte.

Nota: también he usado este argumento aquí.

Answer 2

A mí me parece que el $C^1$ condición que es casi un arenque rojo, en el que es mucho más restrictiva que la más débil de las condiciones que están más directamente relacionados con lo que quiere mostrar. Por ejemplo, supongamos que la curva es localmente lineal en cada uno de sus puntos. Entonces, dado cualquier punto de $x$ en la curva, lo suficientemente pequeños discos centrado en $x$ (FYI, "existen arbitrariamente pequeños discos centrado en $x$" sería suficiente) tienen la propiedad de que la porción de la curva dentro de ese disco se mantiene dentro de una franja rectangular centrada en un diámetro del disco y cuyo ancho con relación al diámetro del disco puede hacerse arbitrariamente pequeña (FYI, "ancho de la banda menos de disco de diámetro" sería suficiente, incluso si esta relación enfoques $1$ como el disco de diámetro enfoques $0$). Es decir, para todos los suficientemente pequeños discos centrado en $x$, la curva no divagar en todo el disco, pero en lugar de la curva permanece uniformemente cerca de un diámetro del disco. Sigue inmediatamente que en cada barrio de $x$ contiene un sub-barrio disjunta de la curva. (Piense en lo fácil que es encontrar un sub-barrio de $\{(x,y) \in {\mathbb R}^{2}: x^2 + y^2 < 1\}$ que es disjunta de a $\{(x,y) \in {\mathbb R}^{2}: |y| < 10^{-6}\}.)$ Finalmente, dependiendo de cuál es su definición de "ningún lugar densa" es, usted puede ser que necesite para terminar mostrando la propiedad introducida, lo que podría ser llamado "localmente denso en ninguna parte en cada uno de sus puntos", implica el conjunto a nivel mundial es denso en ninguna parte.

Answer 3

Si la curva está definida como la imagen continua de I= [0,1] (en lugar de (0,1) ), entonces, si la imagen contiene un conjunto abierto, entonces usted tiene un bijection entre compacto y Hausdorff, de modo que usted tiene una incrustación de I en su imagen. Entonces, si la imagen contiene un subconjunto S de medida >0 , se obtiene una relativamente abierto subconjunto de (0,1) asignar a un relativamente abierto subconjunto de S, que viola la invariancia del dominio.