Si $X_n N(0, 1/n)$ Entonces, ¿por qué $\sqrt{n}X_n N(0, 1)$ ?

Question

He visto lo siguiente en un libro de texto y tengo dificultades para entender el concepto. Entiendo que $X_n$ se distribuye normalmente con E( $X_n$ ) = 0 y Var( $X_n$ ) = $\frac{1}{n}$ .

Sin embargo, no entiendo por qué multiplicar $X_n$ por $\sqrt n$ lo haría normal de serie.

Answer 1

Debido a que la varianza es un segundo orden momento , relacionado con el cuadrado, por lo que un factor se eleva al cuadrado.

Más precisamente, dado que la expectativa es una operación lineal, en general, si se tiene una $d$ -momento de la orden (el suyo es un $2$ -momento de orden):

$$\mu_{d}(X)=\operatorname {E} \left[X^{d}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{d}\,dF(x)\,$$ multiplicando $X$ por una constante resulta en obtener esa constante fuera de la integral, afectada con la potencia $d$ (siempre que la integral esté bien definida):

$$\mu_{d}(aX) = a^d \mu_{d}(X)\,.$$

Así que si se multiplica $X$ por $\sqrt{n}$ la varianza (momento de la potencia de dos) de $X$ se multiplica por $(\sqrt{n})^2$ .

La media es un momento de primer orden, por lo que se multiplicaría por $\sqrt{n}$ y como es $0$ para $X$ la variable resultante sigue teniendo media cero.

Answer 2

Supongamos que $X\sim N(\mu, \sigma^{2})$ . Entonces, \begin{eqnarray*} X-\mu &\sim& N(0, \sigma^{2})\\ \frac{X-\mu}{\sigma}&\sim&N(0,1). \end{eqnarray*} Del mismo modo, si $X_{1},X_{2},\cdots X_{n}$ es una muestra aleatoria de $N(\mu,\sigma^{2})$ y luego la media de la muestra, \begin{eqnarray*} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}&\sim & N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \bar{X}-\mu &\sim& N\left(0,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\\ \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{\sigma}&\sim&N(0,1) \end{eqnarray*}