Encontrar el perímetro de cualquier triángulo dadas las longitudes de altitud

Question

La altitud de las longitudes de 12, 15 y 20. Me gustaría que un proceso en lugar de una sola solución.

Answer 1

Deje $A$ ser la zona de nuestro triángulo (aún no se conoce), y dejar que el altitudes ser $p$, $q$, y $r$ (conocida). Vamos a los lados (aún no se conoce), con el fin de, $x$, $y$, y $z$. Entonces $$px=qy=rz=2A,$$ o, equivalentemente, $$x=\frac{2A}{p},\qquad y=\frac{2A}{q}, \qquad z=\frac{2A}{r}.$$

Por la Fórmula de la Garza, $$A=\sqrt{s(s-x)(s-y)(s-z)}$$ donde $s=(x+y+z)/2$.

Sustituir nuestras expresiones para $x$, $y$, y $z$ en términos de $A$, $p$, $q$, y $r$ en la Fórmula de Heron.

Obtenemos un desordenado mirando pero fundamentalmente ecuación simple para $A$ (después de la cancelación, es lineal). Resolver para $A$. Ahora que conocemos $A$, podemos encontrar a los lados, y por lo tanto el perímetro.

Answer 2

Considere el triángulo

Triángulo con ángulos $A,B,C$ y los lados opuestos $a,b,c$

Su área está dada por ejemplo por $$S=\dfrac{bc\sin A}{2}.\tag{1}$$ a partir De las siguientes relaciones trigonométricas válido para un triángulo

$$\sin A=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{A}{2}\tag{2}$$

y

$$\sin \frac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{bc}}\tag{3}$$

$$\cos \frac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}},\tag{4}$$

obtenemos la fórmula de Herón

$$S=\sqrt{p\left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) },\tag{5}$$

donde $$2p=a+b+c\tag{6}$$ is the perimeter. A geometric proof of $(5)$ can be found in this post, in Portuguese. In this case $S=\dfrac{12a}{2}=\dfrac{15b}{2}=\dfrac{20c}{2}$. Then $a=\dfrac{1}{6}S,b=\dfrac{2}{15}S$ and $c=\dfrac{1}{10}S$. Por lo tanto

$$2p=a+b+c=\frac{1}{6}S+\frac{2}{15}S+\frac{1}{10}S=\frac{2}{5}S,\qquad p=\frac{1}{5}\tag{7}S$$

y

$$S=\sqrt{\frac{1}{5}S\left(\frac{1}{5}S-\frac{1}{6}S\right)\left(\frac{1}{5}S-\frac{2}{15}S\right)\left(% \frac{1}{5}-\frac{1}{10}\right)}=\frac{1}{150}S^{2}.\la etiqueta{8}$$

La solución para $S$, obtenemos $S=150$. Por lo que el perímetro es $$\boxed{2p=\frac{2}{5}150=60.}\tag{9}$$

Nota: los lados se $a=\dfrac{1}{6}150=25,b=\dfrac{2}{15}150=20,c=\dfrac{1}{10}150=15$.

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Añadió:

Triángulo con ángulos $A,B,C$, los lados opuestos $a,b,c$ y altitudes $h_1,h_2,h_3$

Para el caso general de un triángulo con altitudes $h_{1},h_{2},h_{3}$ perpendicular, respectivamente, a los lados $a,b,c$ de su superficie es de $S=\dfrac{ah_{1}}{2}=% \dfrac{bh_{2}}{2}=\dfrac{ch_{3}}{2}$. Consequently $a=\dfrac{2}{h_{1}}$, $b=% \dfrac{2}{h_{2}}$, $c=\dfrac{2}{h_{3}}$. So the perimeter $2p$ y semi-perímetro $p$ del triángulo está dada por

$$\begin{eqnarray} 2p &=&a+b+c=\frac{2S}{h}, \\ p &=&\frac{S}{h}, \end{eqnarray}\etiqueta{A}$$

donde $h$ es tal que

$$\begin{equation} \frac{1}{h}=\frac{1}{h_{1}}+\frac{1}{h_{2}}+\frac{1}{h_{3}} \end{equation}\Leftrightarrow h=\frac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{2}h_{3}+h_{1}h_{3}+h_{1}h_{2}}.\la etiqueta{B}$$

Así

$$\begin{eqnarray*} S &=&\sqrt{\frac{S}{h}\left( \frac{S}{h}-\frac{2S}{h_{1}}\right) \left( \frac{S}{h}-\frac{2S}{h_{2}}\right) \left( \frac{S}{h}-\frac{2S}{h_{3}}% \right) } \\ &=&\frac{S^{2}}{h^{2}}\sqrt{\frac{\left( h_{1}-2h\right) \left( h_{2}-2h\right) \left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}} \end{eqnarray*}\etiqueta{C}$$

La solución para $S$, ahora obtenemos

$$\begin{equation} S=\dfrac{h^{2}}{\sqrt{\dfrac{\left( h_{1}-2h\right) \left( h_{2}-2h\right) \left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}}} \end{equation}\etiqueta{D}$$

y, finalmente, el perímetro como una función de la $h,h_1,h_2$$h_3$, $h$ ser una función de $h_1,h_2,h_3$$(\text{B})$:

$$\boxed{\begin{equation} 2p=\dfrac{2h}{\sqrt{\dfrac{\left( h_{1}-2h\right) \left( h_{2}-2h\right) \left( h_{3}-2h\right) }{h_{1}h_{2}h_{3}}}}. \end{equation}}\etiqueta{E}$$

Answer 3

Los lados son proporcionales a 1/(alturas). Encontrar la constante de proporcionalidad, de modo que el triángulo resultante tiene exactamente el dado altitudes y no un múltiplo de la misma.

Usted podría, por ejemplo, la construcción de un modelo a escala del triángulo (en el ejemplo dado es similar a la de un triángulo rectángulo 3-4-5) y ver cuánto tiene que ser ampliada para que coincida con el dado a las alturas. O el uso de la fórmula del área como en el resto de soluciones. No importa el enfoque, la forma de un triángulo es conocido inmediatamente y sólo el exacto de la escala es de izquierda a determinar.

Answer 4

$$ t=área x=ha, y=hb, z=hc $$ $$ t=\frac{x^2*y^2*z^2}{\sqrt{(xy+yz+zx)(-xy+yz+zx)(xy-yz+zx)(xy+yz-zx)}} $$ o $$ t=\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x^2*y^2}+\frac{2}{y^2*z^2}+\frac{2}{z^2*x^2}-\frac{1}{x^4}-\frac{1}{y^4}-\frac{1}{z^4}}} $$ antes de cada lado = área * 2 / altura

finalmente, su perímetro = a + b + c

Uso TrianCal.esy.es (Triángulo de la Calculadora) Ejemplo: http://triancal.esy.es/?lang=en&tip=2&x=45&y=60&z=36