La solución de $X+X^T=tr(X)M$

Question

Deje $M$ $n\times n$ matriz compleja.

Resolver la ecuación de $X+X^T=tr(X)M$ donde $X$ $n\times n$ matriz compleja.

He hecho un poco de caso de comprobación.

Supongamos $X$ es una solución.

• si $tr(X)=0$, $X$ es sesgar-simétricos, y cualquier inclinación-de simetría de la matriz satisface la ecuación

• si $tr(X)\neq 0$,

  • si $tr(M)\neq 2$, hay una contradicción.
  • Si $tr(M)=2$, e $M$ no es simétrica, se llega a una contradicción.
  • si $tr(M)=2$ $M$ es simétrica, no sé qué decir.

He preferido un enfoque abstracto hasta el momento, debo empezar a pensar en lo que sucede con las entradas ?

Answer 1

El caso restante es $M$ simétrica con ${\rm tr}(M)=2$. En este caso, el conjunto de soluciones es $$S=\{\lambda M+A: A=-A^T,\lambda\in\mathbb{R}\}$$ De hecho, Si $X=\lambda M+A$ $$ X+X^T=\lambda(M+M^T)=2\lambda M $$ Pero esto implica también que ${\rm tr}(X)=2\lambda$, Lo $X$ es una solución.

Por el contrario, Si $X$ satisface $X+X^T={\rm tr}(X)M$ a continuación, $$ \left(X-\frac{1}{2}{\rm tr}(X)M\right)+\left(X-\frac{1}{2}{\rm tr}(X)M\right)^T=0 $$ Por lo $X=\lambda M+A$ donde$\lambda=\frac{1}{2}{\rm tr}(X)$$A=X-\frac{1}{2}\lambda M$. Que es $X\in S$.

Answer 2

A partir de la ecuación: $$ \begin{aligned} X+X^T&=tr(X)M \tag{1}\\ \end{aligned}$$

de ello se deduce que las soluciones sólo existen si $M=M^T$ $M$ es simétrica, y si $tr(M)=2$.

Definir $$X+X^T=2\,S,\quad X-X^T=2\,A\quad \left[S=S^T,\,A=-A^T,\,tr(A)=0\right]$$ entonces $$X=S+A$$ y de ello se sigue que $(1)$ se convierte en: $$ \begin{aligned} 2\,S&=tr(S)M \tag{2}\\ \end{aligned}$$ por lo tanto su solución general es de la forma: $$X=aM+A \tag{3}$$ donde $a$ es una constante y $A$ es cualquier matriz antisimétrica. Para prueba, inserte la solución de $(3)$ a $(1)$ para obtener: $$\begin{aligned} a\left(M+M^T\right)+A+A^T&=a\,tr(M)M \\ a2M&=a2M \end{aligned}$$

Answer 3

Todo lo que estoy viendo hasta ahora es que si usted tiene alguna solución a $X$ ($M$ skew-simétrica, $tr(X)=2$ de los casos), a continuación, elija una matriz de $Y$ tal que $(X-Y)$ es sesgar-simétrica, $Y$ va a ser otra solución.

Por lo tanto no sería un conjunto infinito de soluciones con un valor distinto de cero traza, que es, al menos, $n(n-1)/2$- dimensional.