Alguien puede darme un ejemplo de un objeto, donde las reglas (axiomas) son tan restrictivas que el resultado nos conduce a unas estructuras matemáticas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Mitchell Spector
Puntos
371
Un axiomatization se dice ser categórica si todos sus modelos son isomorfos; esto es tan restrictivo como usted puede conseguir. Sin embargo, por el Löwenheim-Skolem teorema, no de primer orden de la teoría con una infinita modelo es categórica (porque cualquier teoría con al menos una infinita modelo tiene modelos de cada cardinalidad infinita, y modelos de diferentes cardinalidades no puede ser isomorfo).
Aquí hay dos maneras de proceder: $$ $$ (1) Mira de segundo orden de la lógica. (En la lógica de primer orden, podemos cuantificar únicamente sobre los miembros del dominio $M$ de la modelo en cuestión. En segundo orden, la lógica, podemos cuantificar sobre las relaciones en el modelo—en otras palabras, se puede cuantificar a través de subconjuntos de a $M^k$ para cada número natural $k).$
Hay ejemplos importantes de la categórica teorías de segundo orden de la lógica:
Uno es de segundo orden de la aritmética de Peano; aquí el axioma de inducción se aplica a todos los subconjuntos de la modelo (a diferencia de primer orden de la aritmética de Peano, donde el axioma de inducción se aplica sólo a aquellos subconjuntos de la modelo que puede ser definida por un primer orden de la fórmula). De segundo orden de la aritmética de Peano es categórico; su único modelo, hasta el isomorfismo, es el modelo usual de los números naturales. Por tanto, este segundo orden de la teoría que caracteriza la estructura de los números naturales.
Otro ejemplo es el de segundo orden de la teoría de los números reales, con una integridad axioma que dice que cada conjunto de reales, con un límite superior tiene al menos un límite superior (no sólo los subconjuntos que son definibles por un primer orden de la fórmula). De nuevo, este segundo orden de la teoría es categórico; caracteriza la estructura de los números reales. $$ $$ (2) volver a la lógica de primer orden (que es mucho más manejable que la de segundo orden de la lógica), y, en lugar de categoricity, mira categoricity en el poder. ("Poder" aquí es usado para significar "cardinalidad".)
Si $\kappa$ es algún número cardinal, una de primer orden de la teoría de la $T$ con una infinita modelo se dice $\kappa$-categórica si todos los modelos de $T$ de cardinalidad $\kappa$ son isomorfos. Esto es tan restrictivo como usted puede conseguir en la lógica de primer orden.
Un gran ejemplo de esto es el primer orden de teoría de la densa lineal órdenes sin extremos. Cantor demostró que cada contables modelo de esta teoría es isomorfo al conjunto de los números racionales con la costumbre de ordenar. Así que esta teoría es $\aleph_0$categoría.
Morley demostró una maravillosa teorema sobre la categoricity en el poder: Si una contables de primer orden de la teoría de la $T$ $\kappa$categoría para algunos de los innumerables cardenal $\kappa,$ T $\kappa$categoría para cada innumerables cardenal $\kappa.$
Esto deja cuatro posibilidades para una contables de primer orden de la teoría de la $T$ con infinidad de modelos:
(a) $T$ no es categórica en cualquier poder infinito;
(b) $T$ $\aleph_0$categoría, pero no es categórica en cualquier innumerables poder;
(c) $T$ no $\aleph_0$-categórico, pero es categórico en cada innumerables poder;
(d) $T$ $\kappa$- categórico en cada poder infinito.
Hay ejemplos de cada uno de (a), (b), (c), (d) anterior.
Los sistemas de raíces podría encajar el proyecto de ley. (Ver mi blog para una alternativa axiomatization.)
Finito cristalográfica de los sistemas de raíces (como se describe por los axiomas en el artículo) son completamente clasificados. Hay cuatro infinito familias de sistemas de raíz con estos axiomas (tipos $A_n$, $B_n$, $C_n$, y $D_n$) así como cinco excepcional sistemas de raíces ($E_6$, $E_7$, $E_8$, $F_4$, $G_2$). No sé si califica como "demasiado restrictiva". Uno podría decir que es sólo lo suficientemente restrictivo para clasificar todo mientras todavía útil restante.
