Podemos construir una función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que se ha intermedio valor de la propiedad y discontinuo en todas partes?

Question

Podemos construir una función $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que se ha intermedio valor de la propiedad y discontinuo en todas partes?

Creo que es probable, ya que podemos considerar $ $ $ y = \begin{casos} \sin \left( \frac{1}{x} \right), & \text{si } x \neq 0, \\ 0, & \text{si } x=0. \end{casos} $$ Esta función tiene valor intermedio de la propiedad, pero es discontinua en $x=0$.

Inspirado por el ejemplo, $r_n$ denotar el número racional,y definir $ $ $ y = \begin{casos} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \left| \sin \left( \frac{1}{x-r_n} \right) \right|, & \text{si } x \noen \mathbb{Q}, \\ 0, & \mbox{si }x \in \mathbb{Q}. \end{casos} $$

Es fácil ver que esta función es discontinuons si $x$ no es un número racional. Pero no puedo verificar su intermedio valor de la propiedad.

Answer 1

Seguro. La clase de funciones que satisface la conclusión del Teorema del Valor Intermedio es realmente amplia y bien estudiado: tales funciones se llaman funciones de Darboux en honor de Jean Gaston Darboux, que demostró que cualquier derivada es una función de este tipo (el punto es que no todos los derivada es continua).

Un ejemplo estándar de todas partes discontinuas Darboux función es la de Conway de la base 13 de la función.

(Tal vez vale la pena señalar que la existencia de tales funciones no es debido a Conway: la suya es sólo un muy agradable, ejemplo elemental. Creo que tales funciones eran ya bien conocidas René Baire, y de hecho posiblemente a Darboux a sí mismo.)

Answer 2

Cualquier función que dar todos los números reales en cualquier intervalo abierto es un ejemplo. Usted puede encontrar otros ejemplos de esto en las respuestas a esta pregunta en MathOverflow.

Answer 3

No sólo estas funciones existe, pero resulta que hay lots de tales funciones.

De hecho, hay un Teorema, creo que por Sierpinski, que alguno de los reales valores de la función es la suma de dos funciones de Darboux...

Answer 4

Cualquier función de una densa gráfico va a ser un ejemplo. Ver la 4.1 en http://www.apronus.com/math/MRWojcikPhD.htm. Esta es una construcción general de densa conectado gráficos de funciones de cualquier normativa espacio vectorial a cualquier normativa espacio vectorial de peso que no exceda la potencia del continuo.

Que la función y es Darboux se deduce del hecho de que su gráfica está conectado. Véase, por ejemplo, Kuratowski de Topología del libro de texto el Volumen II, 46.Yo.6.