Supongamos $X$ es cualquier conjunto finito, que representan un conjunto de votantes, y deje $Y$ ser otro conjunto finito, en representación de las decisiones o de las opciones de que los votantes pueden clasificar. Por ejemplo, el voto por los candidatos presidenciales, favorito de helado, etc. Por simplicidad, suponga que $X=\{1,\ldots, N\}$.
Llamar a un ranking para ser un lineal de pedidos en $Y$, y una función de bienestar social es un mapa
$$F: L(Y)^N \to L(Y)$$
donde $L(Y)$ es el conjunto de todos los lineales de orden en $Y$. $F$ esencialmente se muestra cómo tomar las clasificaciones de cada votante y convertir eso en una sola clasificación. Los elementos de $L(Y)^N$ $N$- tupla de ranking, una clasificación de las $Y$ de cada votante. Vamos a representar a una tupla por $(\leq_n)_{n=1}^N$ y su imagen por $F((\leq_n)_{n=1}^N)=\leq$.
Dado que este es un sistema de votación, probablemente desee que esta se adhiera a algunas reglas que aplican la idea de que $F$ refleja con precisión el posicionamiento de cada uno de los votantes:
Unanimidad: Si cada votante filas $a\in Y$ mejor que el $b\in Y$, luego en la salida de $F$, la sociedad clasifica $a$ superior $b$. Formalmente, si $a\leq_n b$ por cada $n$,$a\leq b$.
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La independencia de Alternativas Irrelevantes: Cómo los votantes rango $a$ $b$ no debe afectar a cómo la sociedad clasifica $a$$c\neq b$. Formalmente, si $(\leq_n)_{n=1}^N$ $(\leq_n')_{n=1}^N$ son dos tuplas de las clasificaciones tales que el orden de $a$ $c$ son los mismos para cada una de las $n$ ($a\leq_n c$ si y sólo si $a\leq_n' c$), a continuación, el orden de $a$ $c$ son los mismos en la sociedad del ranking (es decir, $a \leq c$ si y sólo si $a\leq' c$).
Dado que este es un poco más complicado, considere el ejemplo de un grupo de la clasificación de los tres sabores de helado de vainilla, chocolate y fresa. El grupo hace sus elecciones, y $F$ dice que el más alto ranking de sabor a chocolate. A continuación, el grupo se entera de que la fresa está fuera, por lo que el rango de fresa como el pasado. Sería contrario a la intuición, a continuación, a la sospecha de que, de repente, la vainilla se convierte en la clasificación más alta (pero no son tales funciones, haciendo de este verdadero).
La intuición es la esperanza de que el consenso del grupo sobre cómo se siente acerca de las dos opciones sólo debe depender de cómo cada individuo se siente acerca de esas dos opciones.
Los casos en que esto todavía no son generalmente indicativo de casos en donde el voto esquema se puede gamed de alguna manera, es decir, mediante el voto en contra de su opción favorita para evitar su menos favorito opción o por la variación de cómo clasificar las opciones restantes para garantizar su pérdida.
Una buena clasificado sistema de votación debe ser tal que más se benefician por el hecho de decir lo que realmente piensan, que intentar jugar con el sistema. La falta de Independencia de Alternativas Irrelevantes permite para este tipo de juego.
Esto trae a nosotros para nuestro resultado:
Flecha del Teorema de Imposibilidad: Para $Y$ finito y $|Y|> 2$, la única función de $F: L(Y)^N \to L(Y)$ la satisfacción de estas dos propiedades es una dictadura, es decir, hay un fijo $m$ (que sólo depende de la $F$) tal que $1\leq m\leq N$$F((\leq_n)_{n=1}^N) = \leq_m$.
Un método de prueba es considerar filtros y utilizar el hecho de que la única ultrafilters en un conjunto finito son los principales ultrafilters.
Es importante tener en cuenta que la Flecha del Teorema de Imposibilidad sólo se aplica a los sistemas de clasificación. Hay maneras alternativas de votación que no son sistemas de clasificación y más prometedores.
Por otra parte, si la hipótesis de la Independencia de Alternativas Irrelevantes en realidad capta lo que queremos en todos los casos es sospechoso.
