Complejo de coordenadas en el CFT

Question

El programa de Instalación: supongamos que queremos estudiar un Euclidiana $\mathrm{CFT}_2$ $\mathbb R^2$ con coordenadas $\sigma^1$ $\sigma^2$ y métrica

$ds^2 = (d\sigma^1)^2+(d\sigma^2)^2$.

A mí me parece que en la discusión habitual (por ejemplo, di Francesco, Ginsparg, Polchinski), se procede a considerar la posibilidad de una continuación analítica de la CFT a $\mathbb C^2$ con coordenadas $z^1, z^2$ y el complejo métrica

$ds^2 = (dz^1)^2+(dz^2)^2$

y entonces, uno realiza la transformación de coordenadas $z = z^1+iz^2$$\bar z = z^1-iz^2$. De esta forma las coordenadas $z$ $\bar z$ puede ser considerado "independiente" porque son las coordenadas de un complejo de dos dimensiones múltiples. También, en estas coordenadas la métrica se convierte en

$ds^2 = dz\,d\bar z$

y queda claro que la conformación de las asignaciones consisten en asignaciones: $(z, \bar z)\to (f(z), g(\bar z))$.

Mi confusión es esta: Dado que nuestra teoría original fue en $\mathbb R^2$, los libros dicen que cuando hacemos los cálculos, debemos considerar que la teoría física como vivir en la copia de $\mathbb R^2$ incrustado en $\mathbb C^2$ dado por la condición de $\bar z = z^*$. Pero tenga en cuenta la asignación de $(z, \bar z)\to (z^2, \bar z)$. Este es un conformal mapping en $\mathbb C^2$, pero no el mapa de la superficie de la $\bar z = z^*$ a sí mismo; por ejemplo, el punto de $(z, \bar z)=(2,2)$ obtiene asignada al punto de $(z^2, \bar z) =(4,2)$ $2$ está claro que no es igual a $4^*$. En particular, me parece que la continuación analítica a un CFT en $\mathbb C^2$ amplía el conjunto de asignaciones que uno puede tener, así que ¿qué relevancia que realmente tiene a la original CFT en $\mathbb R^2$?

Answer 1

La definición de un conformal mapping en esta situación es la que se $(z,\overline{z})\to (f(z),f^*(z))$ donde $f(z)$ es holomorphic. Así, el ejemplo que usted dio, no se trata de conformación.

Para ser concretos, vamos a tomar un libre bosón. Una de conformación de transformación actúa como

\begin{align*} \delta \phi&=-\epsilon v\partial \phi-\epsilon v^*\overline{\partial }\phi\\ &\approx \phi(z,\overline{z})-\phi(z+\epsilon v,\overline{z}+\epsilon v^*), \end{align*}

donde $v$ es holomorphic. Así que es claro que la conformación de transformación de actos en $z$$\overline{z}$$(z,\overline{z})\mapsto (f(z),f^*(z))$.

El confuso cosa, que creo que usted se refiere, es la de que cualquier vector $v^a$ $\mathbf{C}^2$ tal que $v^z$ es holomorphic y $v^{\overline{z}}$ es antiholomorphic satisface $\mathcal{L}_v \delta_{ab}\propto \delta_{ab}$, y es por lo tanto una de conformación de transformación. Sin embargo, sabemos que $v^z$ $v^{\overline{z}}$ son complejos conjugados ya que la teoría es realmente viven en $\mathbf{R}^2$, de modo que sólo debe tener en cuenta tales $v$'s para CFTs.

Answer 2

Creo que usted se equivocó de pasos. Esta es mi opinión: en primer lugar, identificar a $\mathbb{R}^2 \cong \mathbb{C}$, de manera natural. A continuación, aquí tomamos el salto a $\mathbb{C}^2$ sólo por conveniencia computacional. Esto es porque en el mundo de funciones complejas a veces es más fácil hablar no de $z \in \mathbb{C}$ solo, pero de $z$ y $\bar z$ $\in \mathbb{C}$ al mismo tiempo, como variables independientes. Esto porque si escribimos $z=x+iy$, podemos tener funciones como $f_1=x^2+y^2=z\bar z$ y también funciona como $f_2=x^2-y^2+i2xy = z^2$. Así como usted puede ver algunas de las funciones más $\mathbb{C}$ puede ser escrito como funciones de $z$ solo (holomorphic funciones), otros como funciones de $(z,\bar z)$, y otros con $\bar z$ como su único argumento. Así que si tratamos $z$ $\bar z$ como argumentos diferentes, es natural que terminan en $\mathbb{C}^2$.

Sobre tu ejemplo: Usted todavía está trabajando con un 2-dim l ENF. El mapa en el que se define no es un holomorphic mapa sobre$\mathbb{C}$, por lo que por ahora se han descarriado del camino de las transformaciones de $\mathbb{C}$ ( o $\mathbb{S}^1$. si usted considera que las transformaciones globales).