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Supongamos que tengo una variable aleatoria $X \sim \text {Gamma}(k, \theta )$ y defino $Y = \log (X)$ . Me gustaría encontrar la función de densidad de probabilidad de $Y$ .
Originalmente pensé que sólo definiría la función de distribución acumulativa X, haría un cambio de variable, y tomaría el "interior" de la integral como mi densidad, así,
\begin {alinear} P(X) \le c) & = \int_ {0}^{c} \frac {1}{ \theta ^k} \frac {1}{ \Gamma (k)} x^{k- 1} e^{- \frac {x}{ \theta }} dx \\ P(Y) \le \log c) & = \int_ { \log (0)}^{ \log (c)} \frac {1}{ \theta ^k} \frac {1}{ \Gamma (k)} \exp (y)^{k- 1} e^{- \frac { \exp (y)}{ \theta }} \exp (y) dy \\ \end {alinear}
Aquí uso $y = \log x$ y $dy = \frac {1}{x} dx$ y luego sub en las definiciones de $x$ y $dx$ en términos de $y$ .
La salida, desafortunadamente, no se integra a 1. No estoy seguro de dónde está mi error. ¿Podría alguien decirme dónde está mi error?
