Serie De Convergencia $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{2n+2}{2n+4}\right)^n$

Question

Tengo a ver si esta serie converge o diverge. He intentado utilizar asymptotics, pero no es formalmente correcta como se debe trabajar solamente cuando los argumentos son muy pequeños. Alguna idea?

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{2n+2}{2n+4}\right)^n $$

Answer 1

Recordemos que, como $x \to 0$, por la expansión de Taylor, tenemos $$ \begin{align} e^x& =1+x+\mathcal{O}(x^2)\\ \ln (1+x)&=x-\frac {x^2}{2}+\mathcal{O}(x^3) \end{align} $$ giving, as $n \to \infty$, $$ n\ln \left(1-\frac {2}{2n+4}\right)=n \left(-\frac {2}{2n+4}+\mathcal{S}(\frac {1}{n^2})\right)=-1+\mathcal{S}(\frac {1}{n}) $$ y $$ \begin{align} \frac{1}{n} \left(\frac{2n+2}{2n+4}\right)^n&=\frac{1}{n} \left(\frac{2n+4-2}{2n+4}\right)^n\\\\ &=\frac{1}{n} \left(1-\frac {2}{2n+4}\right)^n\\\\ &=\frac{1}{n}e^{n\ln (1-\frac {2}{2n+4})}\\\\ &=\frac{1}{n}e^{-1+\mathcal{O}(\frac {1}{n})}\\\\ &\sim \frac{e^{-1}}{n} \end{align} $$ por lo tanto inicial de la serie es divergente.

Answer 2

Sugerencia: Poner $n=k-2$ y simplificar la fracción dentro de los paréntesis.

Answer 3

$\frac{2n+2}{2n+4} = \frac{n+1}{n+2}$

Con $\frac{n+1}{n+2} \le 1+\frac1n$ $\lim_{n\to \infty} (1+\frac1n)^n = e$ puede utilizar la prueba de comparación para mostrar que es divergente.

Answer 4

Sin ningún tipo de álgebra, acaba de darse cuenta de que después de las cancelaciones de las dos expresiones $$ \frac{\bigg(1+\frac{1}{2n}\bigg)^n}{\bigg(1+\frac{2}{n}\bigg)^n} = \frac{O(1)}{O(1)}=O(1) $$ De ahí su sumando es $f_n = \frac{1}{n} \cdot O(1)$.