Es una distribución. La forma más fácil y limpia de pensar en ello es como una funcional lineal $ \mathscr {H} \to\mathbb {R}$ en el espacio de Hilbert $ \mathscr {H}$ de funciones $ \mathbb {R}^N \to\mathbb {R}$ que son $ \mathbf {L}^2( \mathbb {R}^N)$ . Introducir una función $f \in\mathbf {L}^2( \mathbb {R}^N)$ y DiracDelta escupe $f(0)$ . Es un operador manifiestamente lineal.
Históricamente fue motivado intuitivamente por la necesidad de una función $ \delta : \mathbb {R}^N \to\mathbb {R}$ en el sentido cotidiano, con las propiedades que usted declara. También está motivado por la Teorema de la representación de Riesz un espacio Hilbert está completo, así que cada continuo La función lineal puede ser representada como un producto interno en el espacio: por cada función lineal continua $f: \mathbf {L}^2( \mathbb {R}^N)$ existe una función única $f_0: \mathbb {R}^N \to\mathbb {R}$ en el sentido cotidiano, de tal manera que:
$$ \langle f_0,\,g \rangle = \int_ { \mathbb {R}^N} f_0(U)\,g(U)\, \mathrm {d} U \tag {1}$$
En los espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre $ \mathbb {R}$ equipado con el producto interno, todas las funciones lineales son también continuas. Así, por ejemplo, el uno se forma componen todas las funciones lineales que hay: hay no funciones lineales que no pueden ser escritas como la acción $X \to\omega (X)$ de una forma única $ \omega $ en los vectores en un espacio Hilbert de dimensiones finitas. En términos físicos: todos las funciones lineales pueden escribirse como vectores con sus índices disminuidos por contracción con el tensor métrico $g$ .
En los espacios dimensionales infinitos, la noción de función lineal continua es estrictamente más precisa que la simple función lineal: siempre hay funciones lineales que no son continuas y, de hecho, DiracDelta es una de ellas. Véase, por ejemplo, mi respuesta aquí (así como los hilos de MathOverflow enlazados en él) en los espacios Hilbert aparejados para más información. Así que podemos discutir las distribuciones a través de esta noción de espacio Hilbert aparejado: equipamos el espacio Hilbert con una topología más fuerte que simplemente la topología de norma Hilbert, de modo que la nueva topología del espacio es precisamente lo suficientemente fuerte, pero no más fuerte, para considerar que todas las funciones lineales son continuas con respecto a esta nueva y más fuerte topología. Hablamos del "espacio dual topológico" de todos los continuo funciones lineales a un espacio de Hilbert, a diferencia de las más grandes, "algebraicas duales" de las funciones lineales, pero no necesariamente continuas. Es a las primeras a las que un espacio de Hilbert, por definición, equivale, no a las segundas. El Teorema de Representación de Riesz en este contexto es entonces la afirmación de que esta definición de dualidad topológica propia es la misma que la definición del espacio de Hilbert como un espacio de producto interior completo.
Así que no hay una función cotidiana con las propiedades que usted declara precisamente porque la noción de función lineal es estrictamente más general que la noción de función lineal continua en el espacio infinito de Hilbert.
También podemos pensar en las distribuciones como secuencias de las funciones diarias. Este es el enfoque al que alude en el pensamiento de DiracDelta como una secuencia de Gaussianos cada vez más altos. Este es el enfoque que M. J. Lighthill, "Una introducción al análisis de Fourier y a las funciones generalizadas" usos. Es un lindo librito: riguroso, muy legible, pero bastante anticuado (utiliza la nomenclatura "buenas funciones" para las funciones de Schwartz que no he visto en otros lugares, por ejemplo) y un poco anticuado. Pero sigue siendo una concepción válida de la noción de distribución.
